Para quais valores de a série é convergente? Encontre também o intervalo e o raio de convergência.

Primeiro, para aplicarmos o nosso teste da razão, precisamos escrever o elemento , observando nossa série, temos que

podemos então escrever que

Podemos então, escrever o nosso limite do teste da razão como

Precisamos reescrever este limite, de preferência tentando separar a variável que dirá nosso raio de convergência, da variável que está sendo avaliada no limite! Eu já te adianto que é possível, vem comigo!

Vamos usar que quando temos uma fração no numerador e outra no denominador, podemos reescrever a fração multiplicando o numerador pelo inverso do denominador, da seguinte forma

Olha algumas vantagens que surgem de cara, se lembrarmos que , e também que , podemos escrever a expressão acima como

em que simplifiquei os termos em comum no denominador e numerador, note que agora, o nosso limite pode ser escrito como

Maravilha! Vamos continuar analisando este sistema! Note que agora, a parte que depende apenas de , não é afetada pelo limite, isso será conveniente para determinarmos o nosso raio de convergência! No entanto, precisamos primeiro avaliar a parte que depende do limite! Vamos lá!

Podemos escrever o limite do passo anterior como

Mas como calcular este limite? A maneira mais fácil aqui é distribuir o produto no denominador, temos que

Usando que

podemos escrever que

juntando alguns termos, temos que

Voltando para o limite, obtemos que

Agora este limite ficou um pouco mais fácil! Vamos resolver ele? Saca só!

Quando temos um limite para o infinito de uma razão de polinômios, é conveniente dividirmos o numerador e o denominador pelo termo de maior ordem, em nosso caso , de forma, que obtemos

Note que agora no denominador temos várias constantes divididos por em diferentes potências, de qualquer forma, qualquer número dividido por um número muito grande vai a zero, ou seja, quando fazemos o limite, obtemos que

Ou seja, o nosso raio de convergência vai ser obtido analisando a seguinte expressão

Precisamos achar os valores de para que ! Vamos lá!

Para que , precisamos que

Como temos que é simplesmente um número positivo, podemos escrever que

A desigualdade acima tem uma função modular. Note que, quando está tudo bem em nossa questão! Mas não é simplesmente isso, como a função é modular, nós também precisamos considerar o intervalo em que , pois o módulo irá tirar o sinal de menos! Obtemos então que

Se somarmos em toda a desigualdade, temos que

ou simplesmente

Este intervalo obtido é o intervalo para o qual , portanto, é o intervalo de convergência de nossa série. No entanto, ainda não podemos dizer se os extremos são convergentes! Precisamos checar isso! Vamos fazer isso antes de qualquer coisa!

Para checar os extremos, vamos substituir os dois extremos em nossa série, primeiro para , temos que

usando que , podemos escrever que

Esta é uma série alternada! Pelo teste das séries alternadas, temos que verificar se os termos da série são decrescentes e o seguinte limite

Como temos uma constante dividia por , quando , o limite vai sim a zero, portanto a relação acima é verdade! Agora, os termos são decrescentes? Vamos escrever alguns e ver se é verdade, temos que

Então sim, são decrescentes, então podemos garantir que

Ou seja, , pertence ao nosso intervalo de convergência! Vamos analisar o outro valor agora!

Para , temos que

simplesmente simplificando o termo no numerador e denominador. A série acima é uma série-p da forma

série desta forma são convergentes se , em nosso caso temos que , portanto, com , temos a convergência de nossa série! Desta forma, o intervalo de convergência é

Para obter o raio de convergência precisamos saber qual é o centro de convergência, ou seja, o valor mediano do intervalo acima. Como o intervalo acima é formado por um número ímpar de termos, temos que o centro é , pois é o valor central! E sendo assim, temos termos a esquerda e a direita, ou seja, o raio de convergência é

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!