UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 1a.
1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.
a)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão temos que dizer se a série dada no enunciado converge ou diverge.
Pra isso vamos aplicar algum teste de convergência que conhecemos.
Tem algum em mente para esse caso? 🤔
Analisando a série que temos que obter a convergência, vemos que no denominador há um
Quando nos deparamos com isso, muito possivelmente o teste que temos que realizar é o teste da razão, então esse será nossa primeira tentativa!
Esse teste consiste em calcular o limite de para tendendo ao infinito. Se o limite resultar em um valor , a serie diverge. Se resultar em um valor , a serie converge. Mas se resultar em , não podemos afirmar nada e então passamos para outro teste.
Bora começar! 😁
Passo 2
De maneira mais organizada, o que temos que calcular é
é dado pela serie do enunciado, ou seja
Já em substituímos por
Substituindo no limite, temos
Aqui a gente faz algumas alterações que não comprometem a fração.
Sabe que ?
Então começamos reescrevendo como , concorda?
Assim podemos simplificar do numerador e no denominador
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Outra simplificação que podemos fazer é no fatorial de .
Podemos escrever o primeiro termo do fatorial e deixar os outros termos dentro do fatorial, por exemplo
Ou seja, escrevemos o primeiro termo e subtraímos do fatorial.
Substituindo no limite...
Assim, podemos simplificar o dos denominadores da fração, resultado em
Organizando a fração pela técnica dos extremos pelos meios, temos
Perceba que o numerador do limite é de ordem e o denominador é de ordem 3. Portanto o denominador tende ao infinito mais rápido que o numerador, assim podemos considerar que estamos dividindo um número pequeno por um número muito grande, ou seja, esse limite tende a um valor muito pequeno, próximo a .
Outro método para calcular esse limite é ver que e são positivos quando , logo podemos desconsiderar o módulo.
E aplicando as técnicas que já conhecemos, vamos obter o mesmo resultado!
Como o resultado foi um valor menor que , a serie converge!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
A serie converge pelo teste da razão.