3 . Utilize o teste da razão para decidir se as seguintes séries convergem ou divergem:

i .   ∑ n = 1 ∞ 2020 n n !

i i . ∑ n = 1 ∞ n ! 2020 n

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Para saber se a série converge o enunciado fala para usarmos o teste da razão, onde temos que se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

A série converge e se L > 1 o limite vai para o infinito a série diverge.

Vamos as contas então!

Passo 2

Vamos começar com:

∑ n = 1 ∞ 2020 n n !

Temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2020 n + 1 ( n + 1 ) ! ⋅ n ! 2020 n

= lim n → ∞ ⁡ 2020 n + 1

Temos que quando n → ∞ o termo do denominador é muito maior que o do numerador, logo essa fração vai a zero, assim:

lim n → ∞ ⁡ 2020 n + 1 = 0 < 1

Logo essa série converge.

Passo 3

Agora vamos para a outra série, temos:

∑ n = 1 ∞ n ! 2020 n

Temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 2020 n + 1 ⋅ 2020 n n !

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 2020

Temos que quando n → ∞ o termo do numerador é muito maior que o do denominador, logo essa fração vai para o infinito, assim:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2020 = ∞

Então a série diverge.

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

i . Converge

i i . Diverge

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