Séries de potência
Para quais
A série
Converge? Calcule o valor da série para .
Passo 1
Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter
Mas temos um n o expoente ali fora que o está dentro de uma tangente né? Então temos que usar o teste da raoís completo.
Vamos ter
Assim a nossa série vai convergir se
Isso que dizer que
Temso que analisar essa desigualdades
Passo 2
Vamos olhar aquela desigualdade
Isso que dizer que
Lembrando que
E
Temos
Assim
E temos o nosso intervalo, falta olhar nas extremidades.
Passo 3
Começando com
A nossa série vai ficar
Essa série diverge, isso porque para cada valor de a mais que eu vou somando o valor vai alternando entre e não indo para nenhum dos dois
Passo 4
Vamos agora para
A nossa série vai ficar
E essa série diverge, porque estamos somando infinitamente o valor
Passo 5
Percebemos então que o intervalo de convergência vai ser
Temos agora que achar o valor da série para o que ele pediu no enunciado, que vai ser
Vamos dar uma arrumada naquele termo geral, deixando um número elevado a
Como
Essa é uma série geométrica onde a razão é , a série geométrica converge para
Assim temos
Resposta
Converge para
E
Para vai ser