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Exercícios Resolvidos de Teste da Razão e da Raiz

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Enunciado

Determine se cada série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:

a ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 cos ⁡ 1 n n 3

Passo 1

Vamos começar vendo a convergência da série em módulo:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 cos ⁡ 1 n n 3 = ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ 1 n n 3

Usaremos o teste da raiz, ok?

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 n n 3 n = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 n n 2

Adotando x = 1 n :

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 n n 2 = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2

Passo 2

Agora, temos que usar um truque, que é escrever esse cara do limite assim:

e ln ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 → e ln ⁡ cos ⁡ x x 2

Então:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ cos ⁡ x x 2

E agora a gente calcula o limite do expoente apenas :D

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x x 2 ⇒ L ' H ô p i t a l lim x → 0 ⁡ - sen ⁡ x cos ⁡ x 2 x = lim x → 0 ⁡ - tan ⁡ x 2 x ⇒ L ' H ô p i t a l lim x → 0 ⁡ - sec 2 ⁡ x 2 = - 1 2

Portanto:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ cos ⁡ x x 2 = e - 1 2 < 1

Logo, a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que Lr1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n nr quando n ≥ N .]