UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 2c
Considere a série
Onde é um inteiro positivo
- Generalize: mostre que série converge para todo
Passo 1
O problema pede para avaliarmos a convergência dessa série aqui:
Como estamos falando de uma série com fatorial, o mais indicado é o teste da razão para convergência absoluta!
Nossa série não é alternada, mas isso não tem problema! Podemos aplicar mesmo assim!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos agora analisar nossa série:
O termo geral nesse caso é
E fazendo temos o
Agora podemos calcular a razão :
Beleza?
Calma, vamos simplificar essa coisa! Confia!
Passo 3
O próximo passo é simplificar essa razão! Como temos uma expressão com fatorial, a ideia é abrir ele até o menor deles para poder cortar. Então vamos abrir até e Em :
E agora precisamos calcular o limite quando
Passo 4
Xi! Encontramos uma indeterminação!
Mas espera aí! No infinito, nós aprendemos lá no cálculo 1, que apenas os termos de mais alta potência é que importam!
Se o for 1, quando substituirmos na série, o termo geral ficaria assim:
E o limite desse termo geral diverge, então essa série diverge para .
Mas para e em diante, o limite do termo geral vai ser zero e mais,
(dá uma olhadinha na questão 2b dessa prova =D)
E você se lembra das conclusões desse teste? Tá na mão!
E para valores maiores de vamos ter que o denominador cresce cada vez mais, porque
Então, para , temos que essa série é convergente.
Mostramos o que o problema pediu!
E é isso! Espero ter ajudado!
Até a próxima!