USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 3
Considere a função
Seja . Considere as seguintes afirmações:
(I) admite derivadas parciais em e .
(II) não admite derivadas parciais em .
(III) .
(IV) .
(V) .
São verdadeiras apenas as afirmações:
a) (I) e (V).
b) (I) e (III).
c) (I) e (IV).
d) (II) e (IV).
e) (II) e (V).
Passo 1
Fala galera, vamos resolver mais uma questão de cálculo 2 da POLI? Essa questão é sobre derivadas parciais e derivada direcional!
O enunciado forneceu uma função :
As primeiras duas afirmativas são sobre a existência ou não de derivadas parciais no ponto . Note que esse é um ponto de “colagem” da função, em que a função é definida à parte com . Sendo assim, não podemos sair aplicando as regras de derivação sem nenhuma preocupação, temos que calcular as derivadas parciais pela definição!
Para uma função , as derivadas parciais em um ponto são dadas por
Com isso,
Da definição da função, sabemos que . Substituindo e :
Fazendo o mesmo com e :
Portanto,
Desta forma, vemos que as derivadas parciais existem nesse ponto!
O gradiente de uma função de duas variáveis é
Portanto,
Você pode ver então que a afirmativa (I) é verdadeira e a (II) é falsa!
Passo 2
As três afirmativas que sobraram falam sobre a mesma coisa: a derivada direcional de na direção do vetor . Note que esse vetor já está normalizado (tem norma ), o que é bem importante!
Eu sei que você está tentado em usar a fórmula
Mas você não pode! Como discutimos no passo 1, o ponto é um ponto de colagem da função, de modo que que não podemos usar as regras usuais para as derivadas, temos que recorrer sempre à definição!
Se for um vetor unitário, a derivada parcial de no ponto e na direção de é dada pelo limite
No caso do problema:
Mas note que
Portanto, dividindo a função por , temos que:
Assim,
Com isso, vemos que a afirmativa (V) está correta e as afirmativas (III) e (IV) estão erradas!
Passo 3
Chegou a hora de assinalar a alternativa: vimos que as afirmativas (I) e (V) são corretas. Isso corresponde à alternativa A! Acabamos a questão 😊
Resposta
Alternativa A.