UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P3 – 2015.2 – Questão 3
Considere a função
Encontre os vetores unitários tais que as derivadas direcionais é maior possível; é menor possível e é menor possível.
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Para calcularmos as derivadas direcionais, usaremos a fórmula:
Antes da gente ir direto no que o enunciado está pedindo, vamos ajustar a nossa fórmula em função do que já foi dado.
Ele pede pra ser calculado no ponto e vamos ter que também calcular o gradiente no ponto:
Aplicando o ponto:
Ajustando já a fórmula:
Ok, mas ainda não temos os vetores da nossa fórmula. Bom é exatamente isso que o exercício pede para acharmos.
Passo 2
Na primeira parte, ele pede para acharmos as derivadas direcionais aonde é maior possível. Isso acontece quando o nosso vetor aponta na mesma direção do gradiente, então:
Jogando na fórmula, teremos
Passo 3
Bem parecido com a ideia do Passo 2. Se a nossa derivada direcional é a maior possível indo em direção ao vetor gradiente, para ser a menor possível, ela precisa ir na direção contrária.
Jogando na fórmula, teremos
Passo 4
Apesar da ultima pergunta ser parecida com a anterior, agora temos um módulo aqui. Isso faz com que os valores negativos se tornem positivos. Então para acharmos a menor derivada direcional, vamos precisar zerar alguma componente do nosso vetor. E nesse caso, tanto faz qual.
Então podemos dizer que: