UFCG-Cálculo 3-AV1-2022.1
A derivada de em ) na direção de é e na direção é .Qual a derivada de na direção ?
Passo 1
Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Tá tudo joinha por aí?
Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha de função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de derivadas direcionais e como consequência vamos arrastar também os vetores gradientes.
Esse tipo de questão é muito comum de cair em prova de cálculo. O legal é que não é difícil de fazer, precisa apenas de uma única formulinha que vamos ver jaja.
Aqui não tem muita teoria não, na realidade precisamos apenas de dois conceitos de função de várias variáveis. A primeira é a fórmula da derivada direcional é o seguinte:
A outra é que a derivada direcional ela mede a taxa de variação do campo, seja ele escalar ou vetorial, ao longo de um caminho. Sendo assim, não tem sentido o vetor mudar o valor da derivada né? Então por isso, o vetor é um vetor unitário, logo é um versor.
Sacou né? Então já podemos colocar a mão na massa.
Passo 2
Primeiramente precisamos pegar aquelas direções e normalizar, seguindo o conceito do cálculo vetorial temos que a forma de normalizar é dada por:
onde temos que é o módulo do vetor .
Continuando, vamos calcular os versores de cada direção:
Agora vamos montar as equações utilizando as fórmulas de derivadas direcionais, vamos utilizar os dois primeiros vetores unitários, beleza?
Já a segunda equação:
Pegando a igualdade fornecida pelo enunciado, temos que:
Igualando as derivadas, temos que:
Logo temos que:
Passo 3
A derivada ao longo do caminho 3 é dada por: