UTFPR. Cálculo Diferencial e Integral 2. Prova AV2. 2022.1. Questão 4.
Questão 4 – Calcule , onde
E é o versor de .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, temos uma função dada por e precisamos calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor unitário de .
A ideia é curtinha, mas tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔🤔
A derivada direcional nos diz qual é a taxa de crescimento ou decaimento de uma função em uma determinada direção .
No caso, é o vetor unitário do vetor e é dado por
Deu pra dar uma ideia? 👀
Bora começar!
Passo 2
Primeiro vamos obter o vetor unitário .
Se o vetor direcional é dado por o seu versor (vetor unitário) é dado por ele dividido por ele mesmo, ou seja, por ele, dividido pelo seu módulo.
Com isso, temos que
Dessa forma, é e é .
Agora temos que obter as derivadas parciais de com relação a e relação a .
Primeiro com relação a
Aplicando a regra da cadeia substituindo por , temos
Derivamos pelo método de derivação polinomial e , pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que é igual a ele mesmo, ou seja, igual a .
Simplificando e substituindo por
Guarda esse resultado que já voltamos nele.
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Agora temos que derivar em relação a
Aplicando a regra da cadeia pelo mesmo jeito da derivada anterior, temos
A derivada de já sabemos, mas a derivada de com relação a vamos obter pelo método da derivação polinomial.
Simplificando e substituindo por , temos
Interessante, não é? 👀
Estamos chegando no fim!
Passo 4
Antes de substituir os resultados na formula da derivada direcional, temos que aplicar o ponto que estamos interessados nos valores das derivadas.
No caso, esse ponto é o ponto , portanto na derivada parcial de com relação a
Resultando em
Agora o mesmo para a derivada de com relação a
Aplicando o ponto
Agora sim temos todos os resultados necessários para obter a derivada direcional.
Portanto, a derivada direcional de no ponto na direção do versor de é
Ou seja, nesse ponto e nessa direção, a função descresse a uma taxa de .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
