USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – IME – 2021.2 – Questão 4
Questão para preenchimento numérico. Utilize aproximações corretas até a terceira casa decimal e o separador decimal pode ser “.” Ou “,”.
Seja uma função diferenciável em tal que . Sabe-se também que e , onde e A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é _____.
O valor máximo que uma derivada direcional de no ponto assume é ____.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Resolver esta questão significa preencher as lacunas no enunciado. Ou seja, queremos saber a equação do plano tangente no ponto em questão e o valor máximo da derivada direcional de no ponto pedido. A equação do plano pode ser obtida levando em consideração
Mas para obter estes coeficientes precisaremos lembrar que
O que tem validade tanto para os versores , quanto para . A derivada máxima está relacionada aa direção de maior (menor) crescimento da função, sendo isso obtido calculando
E o valor máximo é . Vamos usar estas informações e tentar resolver a questão!
Passo 2
Primeiro vamos utilizar
Temos que no ponto , esta expressão tem o seguinte valor
Usando dado no enunciado podemos escrever
Isso ainda não é o suficiente para resolvermos nosso problema! Vamos fazer o mesmo para a outra derivada direcional dada!
Passo 3
Temos agora que
Ou seja, assim como fizemos no passo anterior, utilizando dado no enunciado
Conseguimos então equações para parâmetros, que são as nossas componentes do gradiente da função no ponto . Vamos resolver este sisteminha!
Passo 4
Da equação (1) podemos escrever que
Se substituir este resultado na equação (2), vamos obter
Juntando os termos de derivada nós obtemos
Que pode ser racionalizada e simplificada para dar
Podemos utilizar este resultado para achar nosso outro componente!
Passo 5
Voltando com (4) na equação (3), temos
Calculando o valor explícito, temos
Que se racionalizarmos e simplificarmos nos reduz a
Vamos utilizar (4) e (5) para encontrar a equação do nosso plano! Bora lá!
Passo 6
Temos que em conjunto, os componentes (4) e (5), nos permitem escrever
E se voltarmos para nossa equação do plano com , temos
Beleza! Agora só precisamos achar nossa derivada máxima! Vem comigo!
Passo 7
O valor máximo da derivada direcional vai ser dado pelo módulo do gradiente no ponto, e portanto, apenas precisamos calcular
Ou, resolvendo as operações
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!