USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 39
Se e são funções de classe e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
mostre que e são funções harmônicas.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu duas funções e que são de classe , portanto deriváveis até a segunda ordem, e nos disse que elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, que são:
Nós precisamos mostrar que e são funções harmônicas. Mas o que são funções harmônicas mesmo? São funções que satisfazem a equação de Laplace (). Como , precisamos que a soma das segundas derivadas parciais das funções e sejam iguais a zero. Ou seja:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a segunda derivadas da função em relação a :
Mas o enunciado nos disse que , então:
Agora usando a propriedade , temos:
Que é equivalente a:
Passo 3
Agora vamos verificar a segunda derivada de em relação a :
Substituindo e usando a propriedade , temos:
Agora usando o fato de que e , e usando as propriedades das derivadas mistas para funções de classe , temos que:
Da mesma forma, chegamos ao resultado de . Então, podemos dizer que nossas funções e são harmônicas, porque satisfazem a equação de Laplace.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta