USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 40
Seja , onde é uma constante real e e são constantes quaisquer de uma variável real e deriváveis até a segunda ordem. Mostre que satisfaz a equação da onda
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função satisfaz a equação da onda:
Isso quer dizer que a segunda derivada da nossa função em relação a vai ser igual a segunda derivada dessa função em relação a , multiplicada por uma constante ao quadrado. Então, vamos derivar nossa função duas vezes em relação a cada variável e verificar se os resultados batem.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a segunda derivada da função em relação a :
Derivando usando a regra da cadeia, temos:
Agora derivando mais uma vez em relação a , também usando a regra da cadeia, vamos obter:
Colocando em evidência:
Passo 3
Agora vamos verificar a segunda derivada de em relação a :
Derivando usando a regra da cadeia, em relação a , temos:
Derivando mais uma vez:
Multiplicando por dos dois lados:
Repare que é o mesmo resultado que encontramos no passo . Portanto,
E nossa função satisfaz a equação da onda, como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta