Seja

1. Determine as funções e .
2. é diferenciável em ?
3. Calcule para

Como as derivadas parciais de existem em , para saber se é diferenciável ou não, temos que analisar se:

As derivadas parciais em nós já temos da letra . Substituindo tudo então, ficamos com:

Que limite esquisitão né? Bora tentar provar que ele não existe, então!?

Vamos tentar calcular esse limite pelo caminho :

Agora vamos tentar calcular pelo caminho :

Simplificando umas coisinhas, ficamos com:

Só de ter módulo aí no limite, a gente nem precisa resolver pra saber que, dependendo se o for maior do que zero ou menor do que zero, esse limite já vai ter dois valores diferentes. E mesmo que a primeira parte desse limite desse zero, a segunda parte daria , ou seja, já daria diferente de zero, que foi o que a gente achou quando usou o caminho .

Dessa forma, como temos 3 valores diferentes pro limite, dependendo do caminho, então esse limite não existe.

E se esse limite não existe, não é igual a zero (dã), então a função não é diferenciável em .

Como já sabemos que a função não é diferenciável, vamos ter que usar a definição de derivada direcional. Assim

Substituindo nossos dados:

Temos

O limite vai ficar

Beleza, temos esse limite aqui pra resolver então:

A gente pode multiplicar em cima e em baixo por , que ai a gente vai ter uma fração, cujo argumento do seno se repete no denominador. E esse é o melhor dos mundos, porque isso é um limite fundamental da trigonometria, que já sabemos que vale um. Quer dizer, ficamos com isso daqui:

Pronto, resolvemos