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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

UFCG-Cálculo 3-AV1-2022.1

Sejam f x = { x y 2 x 2 + y 2   ,     s e   x , y   ≠ 0   0 ,     s e   x , y = ( 0,0 )   e u = ( a , b ) um vetor unitário a 2 + b 2 = 1 .

  1. Mostre que a derivada direcional de f na direção u existe na origem.

Passo 1

Opa amigão, sou o Rodolpho do Responde Aí. Tá tudo joinha por aí?

Bem, hoje vamos resolver uma questãozinha de função de várias variáveis. Para ser mais preciso, a gente vai utilizar conceitos de derivadas direcionais e como consequência vamos arrastar também os vetores gradientes.

Esse tipo de questão é muito comum de cair em prova de cálculo. Para resolvê-la vamos precisar apenas de uma única formulinha que vamos ver jaja.

Aqui não tem muita teoria não, na realidade precisamos apenas de dois conceitos de função de várias variáveis. A primeira é a fórmula da derivada direcional é o seguinte:

D u = ∇ f * û

A outra é que a derivada direcional ela mede a taxa de variação do campo, seja ele escalar ou vetorial, ao longo de um caminho. Sendo assim, não tem sentido o vetor û mudar o valor da derivada né? Então por isso, o vetor û é um vetor unitário, logo é um versor.

Sacou né? Então já podemos colocar a mão na massa.

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular as derivadas parciais para obter nosso vetor gradiente:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x x y 2 x 2 + y 2   , ∂ ∂ y x y 2 x 2 + y 2   = y 2 y 2 - x 2 x + y 2 , 2 x 3 y x + y 2

Para analisar o vetor gradiente no ponto P ( 0,0 ) temos que:

∇ f   = y 2 y 2 - x 2 x + y 2 , 2 x 3 y x + y 2  

Fazendo a mudança de variável:

x = r c o s t

y = r s e n ( t )

Sendo assim temos que o limite se torna:

y 2 y 2 - x 2 x + y 2 , 2 x 3 y x + y 2 = r 2 t   r 2 t   - r 2 c o s 2 r c o s t + r s i n ( t ) 2 , 2 r 3 t   r s i n t r c o s ( t ) + r s i n ( t ) 2    

Colocando os raios em evidência temos que:

r 2 t   r 2 t   - r 2 c o s 2 ( t ) r c o s t + r s i n ( t ) 2 , 2 r 3 t   r s i n t r c o s ( t ) + r s i n ( t ) 2   = r 4 * t   t   - t   r 2 c o s t + s i n ⁡ ( t ) 2 , 2 r 4 t   s i n s i n   t   r 2     c o s c o s   t   + s i n s i n   t   2  

E finalmente temos que:

r 4 * t   t   - t   r 2 c o s t + s i n ⁡ ( t ) 2 , 2 r 4 t   s i n s i n   t   r 2     c o s c o s   t   + s i n s i n   t   2   = r 2 t   t   - t   c o s t + s i n ⁡ ( t ) 2 , 2 t   s i n s i n   t     c o s c o s   t   + s i n s i n   t   2  

Como os conjuntos de funções trigonométricas é uma função limitada e o raio tá indo para 0, temos que o limite vale 0, portanto temos que:

∇ f   = y 2 y 2 - x 2 x + y 2 , 2 x 3 y x + y 2   = ( 0,0 )

Passo 3

Pegando a formulinha da derivada direcional temos que:

D u = ∇ f * û = 0,0 * a , b = ( 0,0 )

Resposta

D u = ∇ f * û = 0,0 * a , b = ( 0,0 )

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