Exercícios de Cálculo - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Em uma população de 250 ratos, temos que
são brancos. Qual é o número de ratos brancos desta população?
Ver solução completaQuestão 2
Estima-se que, daqui a x dias, a população P de bactérias irá variar a uma taxa de
(bactérias/dia). Se a população atual é de 300 bactérias, qual a população daqui a nove dias?
Ver solução completaQuestão 3
Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga?
Ver solução completaQuestão 4
Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante
é dada por
.
Determine a aceleração do corpo em função do tempo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes
e
.
Ver solução completaDetermine a aceleração do corpo em função do tempo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes
Questão 6
Indique em qual quadrante está situada a extremidade do arco que mede: (a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
.
Ver solução completaQuestão 7
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de
; a outra estava a
da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de
.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A)
B)
C)
D)
E)
Ver solução completaQual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 8
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
b)
Ver solução completab)
Questão 10
A variação na entropia de um gás ideal pode ser escrita na forma
Escreva uma expressão para
(C
é a capacidade calorífica a volume constante, logo o segundo termo é uma constante).
Ver solução completaQuestão 12
Estima-se que, daqui a
anos, a população em um certo município será de
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é dada por
partes por milhão, onde
é a população em milhares de habitantes.
Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação ao tamanho da população quando o munícipio tiver 18 mil habitantes?
Ver solução completaQual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono com relação ao tamanho da população quando o munícipio tiver 18 mil habitantes?
Questão 15
Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Ver solução completaQuestão 17
Ache as integrais das funções escalares sobre cada uma das superfícies:
, sobre a porção do plano
acima do quadrado ,
no plano XY.
Ver solução completaQuestão 19
Note que, pelo teorema fundamental da álgebra, qualquer polinômio (não constante) de grau
têm
raízes complexas. Assim, os polinômios dos itens (a), (b) e © têm duas raízes e o do item (d) tem quatro. Aqui, resolveremos (apenas) os itens (a) e (b).
^2 Pela fórmula de Bhaskara,
(b) Como a equação pode ser reescrita na forma
ou seja,
se
, temos
Consequentemente, pela segunda sugestão do primeiro exercício dessa seção, temos
Assim,
isto é,
Portanto,
- Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
(a)
;
Ver solução completa^2 Pela fórmula de Bhaskara,
Questão 20
Encontre a massa do cilindro
, cortado pelos planos
e
, se a densidade superficial está dada por
Ver solução completaQuestão 21
Questão 3 [2,5 pontos] A temperatura em um ponto
é
, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após
segundos é dada por
, onde
e
são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz
e
. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de oito segundos?
Ver solução completaQuestão 22
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
i)
Ver solução completai)
Questão 24
Trabalho
Nos exercicios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por
para mover una particula uma vez no sentido anti-horário ao redor da curva dada.
15.
C: A fronteira da região
Ver solução completaNos exercicios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por
15.
C: A fronteira da região
Questão 25
Determine para quais valores de
as desigualdades abaixo são satisfeitas.
Ver solução completaQuestão 26
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis e obtenha a solução explícita
do PVI:
Ver solução completaQuestão 27
Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.
Ver solução completaQuestão 28
Na divisão de 477 um inteiro positivo
o resto é 12. Determine os possíveis valores para o divisor
e o quociente
.
Ver solução completaQuestão 31
Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Ver solução completaQuestão 32
Uma partícula movendo-se começa numa posição inicial
com uma velocidade inicial
. Sua aceleração é
. Determine a sua velocidade e posição no momento
.
Ver solução completaQuestão 33
Determinar um polinômio do terceiro grau que se anula em
e que dividido por
,
e
tenha resto 6.
Ver solução completaQuestão 34
Dada a equação diferencial de Cauchy-Euler
onde
e
são constantes. Mostre que, com a substituição
, obtemos uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Ver solução completaQuestão 36
Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
©
Ver solução completa©
Questão 37
A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de
horas, a colônia terá a população
que obedece a lei:
. Qual o número de bactérias depois de 10 horas?
Ver solução completaQuestão 38
Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de
. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro for
?
Ver solução completaQuestão 39
Resolva os seguintes problemas.
c) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência
, um indutor com indutância
, um capacitor com capacitância
e uma bateria de
volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante
quando
volts. O que acontece quando
? Explique.
Ver solução completac) Um circuito em série consiste em um resistor com resistência
Questão 40
Forneça uma descrição geométrica do conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem os pares de equações dadas
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Ver solução completa(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Questão 41
Sejam
, denotamos por
a enésima derivada da função
. Prove a fórmula de Leibniz:
Ver solução completaQuestão 42
Usando integrais, determine o volume da pirâmide regular com altura
e base quadrada de lado
.
Ver solução completaQuestão 43
Da população canadense: -
são da província de Quebec; -
falam francês; -
são de Quebec e falam francês; Qual a probabilidade, escolhido um canadense, de: Falar francês mas não ser de Quebec.
Ver solução completaQuestão 44
Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
Ver solução completaQuestão 45
A temperatura (em graus Celsius) em um ponto
em uma placa de metal no plano
é
Determine a taxa de variação da temperatura em
na direção de
.
Ver solução completaQuestão 46
Sabendo que
, nessa ordem, estão simultaneamente em PA e PG, calcule
e
.
Ver solução completaQuestão 49
Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números
. Qual a probabilidade de : Ser primo;
Ver solução completaQuestão 50
Determine o volume do sólido:
a) sob o plano
e acima da circunferência
no plano
.
Ver solução completaa) sob o plano
Questão 51
Um montante de R$
foi obtido após 4 anos com uma aplicação a juros simples de
ao ano. Qual era o capital inicial?
Ver solução completaQuestão 53
Seja
, de classe
e
um domínio simplesmente conexo. Prova-se que se
então existe uma função diferenciável escalar
talque
. A partir deste resultado mostre que o campo vetorial
é oriundo de uma família de funções escalares
e determine esta família de funções.
Ver solução completaQuestão 54
Suponha que
satisfaça
para todo
e para algum
, ou seja,
é periódica de período
. Mostre que
Ver solução completaQuestão 56
Problema - Para cada um dos exercícios de (6) a (8), encontre as regras a partir dos elementos dados das sequências
8)
.
Ver solução completa8)
Questão 57
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
d) Se
é conservativo então
.
Ver solução completad) Se
Questão 58
Suponha que
e
sejam raízes de multiplicidade 2,1 e 3 , respectivamente, de um polinômio de grau seis. Escreva a solução geral da EDO linear homogênea correspondente, se ela for:
(b) uma equação de Cauchy-Euler.
Ver solução completa(b) uma equação de Cauchy-Euler.
Questão 60
Considere a integral dupla
, onde
é a região do plano
delimitada pela parábola
e a reta
.
b) Agora, argumente porque o valor de
pode ser obtido sem realizar nenhum cálculo explicíto.
Ver solução completab) Agora, argumente porque o valor de
Questão 61
Em uma pesquisa realizada com os comerciantes de uma comunidade para saber quantos tinham CNPJ (Cadastro Nacional de Pessoas Jurídicas) foi constatado que dos 24 comerciantes entrevistados, apenas 3 possuem sua empresa registrada. O percentual de microempreendedores dessa região é
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
Ver solução completaa)
b)
c)
d)
Questão 63
Calcule a esfericidade de um anel de raschig de
. . Dados:
-diâmetro externo $=1 / 2
-altura
-espessura de parede $=1 / 8
(Solução:
)
Ver solução completa-diâmetro externo $=1 / 2
-altura
-espessura de parede $=1 / 8
(Solução:
Questão 65
(FGV-SP) Os gastos de consumo
de uma família e sua renda
são tais que
. Podemos então afirmar que:
a) Se a renda aumenta em 500, o consumo aumenta em 500.
b) Se a renda diminui em 500, o consumo diminui em 500.
c) Se a renda aumenta em 1000, o consumo aumenta em 800.
d) Se a renda diminui em 1000, o consumo aumenta em 2800.
e) Se a renda dobra, o consumo dobra.
Ver solução completaa) Se a renda aumenta em 500, o consumo aumenta em 500.
b) Se a renda diminui em 500, o consumo diminui em 500.
c) Se a renda aumenta em 1000, o consumo aumenta em 800.
d) Se a renda diminui em 1000, o consumo aumenta em 2800.
e) Se a renda dobra, o consumo dobra.
Questão 66
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
h)
Ver solução completah)
Questão 67
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados.
em
;
Ver solução completaQuestão 68
Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
;
Ver solução completaQuestão 69
Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
tais que
e
.
Ver solução completaQuestão 70
Determinar a área da região que está no interior
e exterior à
. Esboçar o gráfico.
Ver solução completaQuestão 71
Considerando o conjunto
, determine o conjunto solução das inequações abaixo:
;
Ver solução completaQuestão 72
Utilize o teste M de Weierstrass para mostrar que a série indicada converge absoluta e uniformemente no domínio indicado:
em
Ver solução completaQuestão 74
(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO
Ver solução completaQuestão 77
É possível que um sistema linear de duas variáveis tenha exatamente cinco soluções? Por quê?
Ver solução completaQuestão 78
Seja
a região delimitada pelos planos coordenados e planos
1 e
. Calcular, com base no teorema da Divergência, o fluxo do campo
, através da superficies
fronteira de T.
Ver solução completaQuestão 80
Em um certo país o imposto de renda é taxado da maneira a seguir. Não há taxa para rendimentos mensais de até 10 mil reais. Qualquer renda entre 10 e 20 mil reais é taxada em
. Qualquer renda maior que 20 mil reais é taxada em
.
(a) Esboce o gráfico da taxa de imposto
em função do salário
de um trabalhador.
(b) Qual é a expressão de
?
© Qual é o imposto pago por uma pessoa que ganha 14 mil reais? E por uma pessoa que ganha 26 mil reais?
(d) Esboce o gráfico do imposto total pago
em função do salário
.
Ver solução completa(a) Esboce o gráfico da taxa de imposto
(b) Qual é a expressão de
© Qual é o imposto pago por uma pessoa que ganha 14 mil reais? E por uma pessoa que ganha 26 mil reais?
(d) Esboce o gráfico do imposto total pago
Questão 81
Desenhe as curvas de nível, determine a imagem de
e estude seu sinal.
Ver solução completaQuestão 82
Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha
onde
é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de equações
e
.
Figura 1: região do exercício 11
Ver solução completaQuestão 84
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.
Ver solução completaQuestão 85
Qual a medida, em graus, do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio,
a) às 16 h 00 ?
Ver solução completaa) às 16 h 00 ?
Questão 87
No circuito
após carregar o capacitor a corrente é nula, o que acontece com a corrente do circuito
?
Ver solução completaQuestão 88
A figura mostra os gráficos das funções de posição de dois corredores, A e B, que participam de uma corrida de 100 metros rasos e terminam empatados.
(a) Descreva e compare as estratégias de corrida dos dois corredores.
Ver solução completa(a) Descreva e compare as estratégias de corrida dos dois corredores.
Questão 90
O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa de
. No momento em que a base da escada está a
da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 . Qual o comprimento da escada?
Ver solução completaQuestão 91
Uma ilha está localizada em um ponto
distante 6 km de um ponto
mais próximo em uma praia reta. Um armazém está situado em um ponto C da praia, 7 Km à direita do ponto B .
Se um homem pode remar a razão de
e caminhar com uma velocidade de
, determine o ponto onde ele deveria desembarcar, na praia, para ir da ilha até o armazém no menor tempo possível.
Ver solução completaSe um homem pode remar a razão de
Questão 93
Use a série de Maclaurin de
e para calcular
com precisão de cinco casas decimais.
Ver solução completaQuestão 94
O que é um superfície parametrizada? O que são suas curvas de grade? Escreva uma expressão para a área de uma superfície parametrizada.
Ver solução completaQuestão 95
Determine o valor de
de modo que se verifiquem as seguintes equações:
(b)
Ver solução completa(b)