Passo 1
A função não tem a mínima semelhança com a soma da série geométrica, não é? Não mesmo, mas veja o seguinte. Vamos derivar .
Essa função derivada se parece muito com , não é? E nós sabemos que:
Vamos então usar essa informação.
Passo 2
Vamos escrever a função derivada como uma série geométrica, temos:
Como a razão é , temos:
Certo?
Passo 3
Mas o que queremos é a representação de , não de sua derivada. Repare só, integrando ambos os lados da igualdade acima, temos:
Assim, resolvendo essa integral, encontramos uma representação em série para . É como se estivéssemos integrando cada termo do somatório que representa . Veja:
Passo 4
Agora bora achar o raio de convergência. Pra isso, fazemos:
E checamos o resultado. Bora lá, seja , temos:
Pra série convergir, pelo teste da razão, devemos ter:
O raio de convergência será então