- Ache a expansão em série de potências de em torno de (série de Maclaurin)
- Derive a série de Maclaurin da função e use-a para provar que:
Passo 1
Letra a) Caraca! essa função aqui se parece muuuuito com uma função que a gente já conhece bem a expansão dela em séries de potência, a própria !:)
Pow, a única coisa que a gente tem que fazer aqui é multiplicar por essa série aí. Vem comigo então !
Passo 2
Como a função , substituindo...
Esse que tá fora da expressão, a gente vai passar pra dentr
Por propriedade de potência, vira
Prontinho!
Passo 3
Letra b) Cara, aqui não tem segredo, basta derivar essa série e ser feliz!
Ué! Mas derivar série, como faz isso?
Pow! Uma série é uma soma, e como se deriva uma soma? Derivando todos os termos, certo?
Então aqui basta a gente derivar esse termo de dentro aí com relação a variável (sempre) dentro do próprio somatório, assim oh
pegou a ideia?
Derivando então esse termo aí em relação a normalmente...
Passo 4
Beleza, agora vamos olhar para o outro lado da história!
A gente sabe também que a pelo enunciado, então
Aplicando a regra do produto...
Passo 5
Agora igualando essas duas derivadas dos dois passos acima, ou seja
Cara, agora o bizu supremo aqui é verificar o que você quer provar. Pelo enunciado queremos provar isso daqui
Repare que se a gente substituir então na derivada...
A gente conclui que sim, essa série vale
Resposta
Letra a)
Letra b)