UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 4a
Considere a função
- Encontre a série de MacLaurin de
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você a resolver! O problema nos deu uma função :
E pediu para expressar essa função em série de Maclaurin dessa função
Série de potências é uma série (a representação é uma expressão de termo geral dentro de um somatório – em função de um inteiro positivo ) que envolve potências de !
Em outras palavras: é um polinômio escrito de forma condensada em um somatório
Esse polinômio tem infinitos termos! Uma parte muito importante são os coeficientes! Quando a série de potências representa uma função , os coeficientes são os ‘pesos’ de cada termo com potência de . Podemos representar qualquer função cabeluda por série de potências de !
E é isso que essa questão pede! Embora essa função pareça simpática, integrar e/ou calcular seu valor pode ser um desafio! E é essa uma das facilidades da representação em séries: poder integrar, derivar, calcular o valor em um ponto de forma muito mais simples =)
Mas o que queremos aqui é apenas a representação! E para algumas funções-chave nós já conhecemos sua representação em série de potência, e a exponencial é uma delas!
A ideia aqui é a seguinte: a partir da série de potências do seno, ir, aos poucos, construindo a função em séries de potência.
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?
Passo 2
A função que queremos representar em séries é:
Podemos começar simplificando um pouco essa função: passar aquele denominador para cima, assim teremos uma função em termos de uma exponencial (lembra que sabemos a série da função exponencial)
Tudo bem até aqui?
A série de Maclaurin do seno é:
Mas temos um multiplicando nosso seno, então a série que representa é
Agora o próximo passo é ir aos poucos construindo a função!
Notem que a série começa em e o primeiro termo dela é !
Passo 3
Para dar seguimento à construção, vamos somar ao nosso somatório, assim vamos ter a representação em série de , e somando com aquele a série vai começar em :
Beleza?
Então vamos multiplicar a série que achamos por (que é o equivalente a dividir por ):
Como temos outra potência de dentro do somatório, podemos juntar os dois, passando para dentro da soma:
E está aí nossa série de Maclaurin!
Então é isso! Espero ter ajudado!
Até a próxima!