Considere a função , definida pela série de potências
b) Calcule o valor de (derivada de ordem da função em )
Passo 1
b)
Para descobrirmos essa derivada, vamos igualar os termos dessa série de potência com a série de Taylor.
A primeira coisa que temos que ficar ligados, é que temos nessa série de potência.
Beleza, isso vai nos dizer que o polinômio de Taylor vai ser em torno de , show?
A série de Taylor da função , em torno de , vai ser
Agora, temos que comparar essa fórmula com a fórmula que ele deu da função
Passo 2
A série de Taylor é
A série de potencias que ele deu vai ser
Tá, mas e agora?
A primeira coisa aqui é perceber que os estão diferentes. Como vemos isso?
Na série de Taylor, temos , enquanto na série de potências que ele deu temos .
Para arrumar isso, vamos mudar o da série de potências, fazendo
Assim, vamos ter
Substituindo isso na série de potências do enunciado
Para descobrir onde a série começa, temos que substituir o valor inicial de , na relação de com
Então nossa série vai começar mesmo no
Passo 3
Olhando como ficaram as duas vamos ter
E
Agora, vamos comparar as séries. Primeiro, vamos abrir aquela série de , assim:
Tirei os dois primeiros termos para termos uma série começando em .
Aquilo que está fora do somatório vai ser necessariamente .
Passo 4
Agora vamos para a comparação, vamos comparar o termo geral das duas séries:
Repara que aqui, vamos precisar ter a parte com dos dois lados iguais. Assim:
E vamos ter
Tirando aquele
Lembrando, que isso é só para , isso porque a série começa no
Passo 5
Pronto, basta agora escolher um para termos a derivada da função
Ele quer , vamos ter