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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Considere a função

f x = ln ⁡ 1 + 2 x 1 - 2 x

a) Determine a série de MacLaurin dessa função

b) Determine o raio de convergência dessa série

Passo 1

A princípio teríamos que sair derivando essa expressão para calcular cada termo da série de MacLaurin

f x = ∑ n = 0 n = ∞ f n 0 n ! x n

Mas saca só! Essa série de MacLaurin parece uma série de potências... será que tem um jeito de fazer isso tudo sem ter que calcular 81204 derivadas?

Então vem comigo pra ver esse mega bizu!

Passo 2

Primeiro vamos derivar a função:

f ' x = 2 1 + 2 x + 2 1 - 2 x = 4 1 - 4 x 2

OPA! Apareceu algo parecido com a série geométrica.

Vamos lá, agora é comparar com a série geométrica:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ ( x ) n

1 1 - 4 x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 x ) 2 n

4 1 - 4 x 2 = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 2 x 2 n

Então:

f ' x = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 2 x 2 n  

Integrando:

f x = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 2 2 n + 1 x 2 n + 1

Que é uma série de potencias, mas também é uma série de MacLaurin!

Esses termos multiplicando as potências de x são os mesmos termos de potências de x lá na série de MacLaurin!

Passo 3

Agora, para encontrarmos o raio de convergência vamos utilizar o teste da razão. Para isso temos que o termo geral é:

a n = 2 2 n + 2 x 2 n + 1 2 n + 1

Aplicando o teste:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 2 n + 4 x 2 n + 3 2 n + 3 ⋅ 2 n + 1 2 2 n + 2 x 2 n + 1 = l i m n → ∞ 4 x 2

A série vai convergir, assim

4 x 2 < 1 ⟹ x < 1 2

Portanto, o raio de convergência é R = 1 2 .

Resposta

a) f x = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 2 x 2 n + 1 2 n + 1

b) R = 1 2

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