Defina o que é o comprimento de arco de uma curva.

Calcule o comprimento de arco da curva

λ : [0,2] → R²

Dada por

λ(t) = (e^t - t, 4 * e^(t / 2))

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, antes de tudo, precisamos definir o que o comprimento de arco de uma curva. No caso, esse comprimento é nada mais nada menos do que o comprimento de um pedaço da nossa curva.

E para calcularmos ele, usaremos:

L = ∫ t 1 t 2 λ ' ( t ) d t

Aonde:

λ ' ( t ) = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2

Show? Já temos tudo que precisamos para calcular o nosso arco.

Passo 2

Vamos calcular:

λ t = ( e t - t ,   4 e t 2 )

λ : 0,2 → R ²

Vamos começar calculando λ ' t :

λ ' ( t ) = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2

λ ' ( t ) = e t - 1 2 + 2 e t 2 2

λ ' ( t ) = e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t = e 2 t + 2 e t + 1

λ ' ( t ) = e 2 t + 2 e t + 1 = e t + 1 2 = e t + 1

Jogando na fórmula da nossa integral:

L = ∫ t 1 t 2 λ ' ( t ) d t

L = ∫ 0 2 e t + 1 d t = e t + t | 0 2

L = ( e t + t ) | 0 2 = e 2 + 2 - ( e 0 + 0 )

L = e 2 + 1

Resposta

L = e 2 + 1

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