Integração e Derivação termo a termo e Séries de Taylor
Determine a expansão em série de potências da função em torno de .
Qual o raio de convergência? Calcule .
Passo 1
Vamos pensar um pouco nesse logaritmo como uma função que é mais fácil de achar a expansão dela em série de potências, a gente sabe a integral que da um logaritmo:
Se a gente botar os limites que encontrem a nossa função, tá tudo certo, então olha ae:
E
Assim vamos ter
Nós fizemos isso porque podemos comparar aquele termo ali dentro com a série geométrica que conhecemos.
A série geométrica é:
Comparando essas paradas achamos e a série e isso é tranquilo de integrar.
Mas aqui temos um problema, ele quer a série centrada em . Quando fazemos essa comparação não estamos garantindo isso, para sabermos se estamos garantindo deveríamos ter
Assim nossa série seria
Então precisamos reescrever aquele cara dentro da integral fazendo aparecer , pra podermos substituir na série geometria.
Então vamos manipular pra ficar igual a .
Coloquei aquele para que o resultado dê
Beleza, vamos dar uma arrumada, isso porque queremos alguma coisa mais no denominador. Para isso vamos colocar em evidência em baixo
Beleza, temos a parada centrada como queríamos.
Passo 2
Vamos achar a série geométrica do cara dentro da integral, para isso temos que compara
Vamos ter
E a nossa série geométrica vai ser
Agora podemos voltar para a integral, mas antes mas repara que isso vai convergir se
Assim o raio de convergência dessa série geométrica vai ser
Passo 3
Integrando vamos ter
Falta achamos aquele , ele vai ser visto quando , isso porque é nesse ponto que estamos centrando nossa série
Então
E vamos ter
Com
Passo 4
Ele quer a derivada muito gigante daquela parada. Fazer na mão não vai ser nada muito legal né?
Lembra que vimos na teoria que se uma função é aproximada por uma série de potência, essa série PRECISA ser a série de Taylor?
Então temos duas formas de aproximar a função , uma usando a série geométrica, e outra escrevendo pela série de Taylor.
Isso ainda não quer dizer absolutamente nada né? Mas olha a malandragem, temos dois “polinômios” infinitos certo? Podemos comparar seus coeficientes.
Lembra como é o coeficiente geral da série de Taylor?
Coloquei porque já temos a série centrada no .
Sacou a parada? Tranquilo se não percebeu, mas comparando cada termo da série de Taylor com os termos da série geométrica achamos várias derivadas, isso porque os termos da série geométrica para a função que fizemos antes vai ser
Comparando os dois caras vamos conseguir achar a derivada que ele pede.
Passo 5
Repara que pela série que achamos ela está com , ou seja, o termo da série de Taylor que temos que pegar é
Assim vamos ter
Como ele pediu a derivada em devemos ter
Então
Resposta
Com
E