(a) Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente
(b) Considere a função
i) Determine a série de Taylor da f em torno do ponto . Qual é o raio da convergência dela?
ii) Determine
Passo 1
Fala aí!! Vamos descobrir se a nossa série converge ou diverge.Bom, tem esse no início da série já podemos pensar em uma série alternada, né? Porque os termos dela vão mudando de sinal para cada valor de .
Aí é uma boa a gente usar o Teste da Série Alternada.Relembrando:Se tivermos uma série alternada:
E ela satisfizer a essas duas condições:
Então, a série é convergente!!
Bom, então vamos testar a nossa série. Vamos começar pela segunda condição:
Ficaria , então podemos aplicar a L’Hopital:
Belezaaa, a segunda condição já foi atendida. Agora temos que testar a primeira, certo?
Não é super simples fazer a análise da primeira condição, ou seja, não dá pra olhar pra função e dizer se é decrescente. Então, a gente considera uma função associada, que é uma função do mesmo jeitiho da nossa série.
E então, a gente deriva a função para saber se ela é descrescente.
Como estamos usando e , então a derivada da função ficará negativa.
Logo, temos que a é descrescente, ou seja, .
Como a nossa série alternada atende às duas condições, ela CONVERGE!
Passo 2
Agora vamos ver se ela converge absolutamente. Ou seja, vamos ver se:
Converge. Vamos usar o teste da integral. Já sabemos que o termo geral é decrescente, como vimos no item a. Então só precisamos ver se a integral abaixo converge ou diverge:
Lembrando nossa famosa amiga integral por partes:
Integrando por partes aquele monstrinho, adotemos
Como aquele segundo termo do limite não depende de , estudaremos apenas o limite do primeiro termo, ok?
Perceba que para , a parcela fica negativa, jogando o para o numerador. Logo, como toda aquela expressão vai para infinito. Então para a integral diverge, e também a série:
Agora para , aquela mesma parcela fica positiva, gerando uma indeterminação do tipo . Usaremos L’Hôpital para resolver:
Portanto, a integral converge para , e também a série.
Agora vamos resolver o item (b)
Passo 3
Bom, na letra (b) a questão pede que a gente determine a série de Taylor para a função:
Aí o que a gente faz? A gente lembra lá da teoria que precisamos derivar a função para achar um padrão e, assim, a gente consegue a nossa série de Taylor.Maravilha!! Até que a gente começa a derivar essa função e percebe que além de não achar padrão, as derivadas vão ficando enormeeeeees! Aí como errar conta já é algo tão comum como respirar, a gente volta e faz todas as contas de novo e percebe que mesmo assim não achamos um padrão e as derivadas continuam grandes.
Nesse momento, a gente começar a inventar tudo que está guardadinho na nossa cabeça como: “e que tal separar em frações parciais?Talvez as derivadas fiquem mais amigáveis!”Então, vamos fazer isso:
Vamos fazer a continha, igualando os numeradores pra descobrirmos quanto vale e .
Então, as nossas frações parciais são:
Bom, a ideia era facilitar as derivadas, mas olhando essas frações parciais assim elas estão lembrando um pouco a soma de uma série geométrica convergente. Ela tem essa carinha aqui:
É claro que não é igual, então a gente pode mexer um pouquinho na nossa função para ficar mais parecida.
Colocando o 2 e o 4 em evidência já ficou mais aprecido. Agora temos que pensar em um sinal negativo ali.
Prontinho, agora ficou com a carinha da soma da série geométrica, sendo que no 1º termo o e no 2º .
Bom, agora podemos colocar na forma de série geométrica. Para lembrar:
Beleza, agora podemos colocar o e o para dentro do somatório e juntar os somatórios. Aí vamos ficar com:
Bom, conseguimos deixar a nossa função como uma série.Agora, vamos descobrir o raio de convergência dessa série. Bom, uma série geométrica converge quando:
No caso da nossa função, temos duas séries geométricas, então temos que buscar o raio de convergência para as duas e despois escolher o menor. Então, na primeira o . Logo,
Então, para a primeira, o raio de convergência é 2.Agora, vamos para a segunda, em que
Para os dois casos, ficamos com o mesmo valor.Logo, o raio de convergência é 2.Agora, vamos para o item (ii) na letra (b)
Passo 4
Bem, no item (ii) a questão pediu
O que a gente faz agora?? Calma, sei que essa questão não começou muito amigável com a gente, mas aos poucos conseguimos deixá-la mais simpática.Vamos olhar novamente o formato da função já na forma de série.
Se a gente derivar, vai ficar:
Derivando novamente, teremos:
Se a gente continuar derivando até chegarmos na derivada n-ésima, teremos o seguinte:
Como a questão pediu , então teremos:
Resposta
(a) A série converge condicionalmente para e converge absolutamente para .
(b) (i)
Raio de convergência=2
(ii)