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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Questão 2: Considere a série de potências

f x = ∑ m = 0 ∞ 2 x + 1 m m + 1 2

b) Determine f 10 - 1 / 2 , a décima derivada de f em - 1 / 2 .

Passo 1

Poxa, como vamos chegar a essa derivada? Derivando na mão? NÃO! A gente vai utilizar de uma propriedade das séries de potência. Mas essa série está em um formato estranho, não está? Então vamos primeiro colocar essa séria no formato usual de série de potências:

f x = ∑ m = 0 ∞ c m x - b m

Para fazer isso, vamos pegar esse termo do nominador aqui:

2 x + 1 m

E colocar o 2 em “evidência”:

2 x + 1 m = 2 x + 1 2 m =

2 m ⋅ x + 1 2 m

Então:

f x = ∑ m = 0 ∞ 2 m m + 1 2 x + 1 2 m

Veja então que se trata de uma série de potências centrada em b = - 1 2 onde o termo da série é:

c m = 2 m m + 1 2

É com esse termo que vamos obter a derivada. Vem comigo então !

Passo 2

Sabemos que o termo c m de uma série de potências nada mais é do que:

c m = f m b m !

Onde b = - 1 2 (centro de aplicação da série de potências)...

c m = f m - 1 2 m !

Então se queremos f 10 - 1 2 , basta substituir m = 10 e isolar:

f 10 - 1 2 = c 10 ⋅ 10 !

Ora...

c m = 2 m m + 1 2           →           c 10 = 2 10 10 + 1 2 = 2 10 11 2

Então:

f 10 - 1 2 = 2 10 11 2 ⋅ 10 !

Resposta

f 10 - 1 2 = 2 10 11 2 ⋅ 10 !

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