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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 1b

Ache expressões para as taxas requeridas

Calcule d x / d y , sabendo que x 4 y 2 - x 3 y + 2 x y 3 = 0

Passo 1

Vamos calcular corretamente a derivada implícita de d x / d y para a expressão dada x 4 y 2   -   x 3 y   +   2 x y 3   =   0   e m   r e l a ç ã o   a   y .

A expressão dada é: x 4 y 2   -   x 3 y   +   2 x y 3   =   0

Vamos derivar ambos os lados em relação a y usando a regra da cadeia:

A   d e r i v a d a   d e   x 4 y 2   e m   r e l a ç ã o   a   y   é :

d d y   x 4 y 2 =   2 x 4 y   * d x d y   +   2 x 3 y 2

A   d e r i v a d a   d e   - x 3 y   e m   r e l a ç ã o   a   y   é :

d d y   [ - x 3 y ]   =   - x ^ 3   *   d x / d y

A   d e r i v a d a   d e   2 x y 3 e m   r e l a ç ã o   a   y   é :

d d y   2 x y 3 =   6 x y 2   * d x d y   +   2 y 3

A   d e r i v a d a   d e   0   e m   r e l a ç ã o   a   y   é   0 .

Passo 2

Agora, aplicando a derivada em ambos os lados da equação original:

2 x 4 y   * d x d y   +   2 x 3 y 2   -   x 3   * d x d y   +   6 x y 2   * d x d y   +   2 y 3   =   0

Agrupando os termos com d x / d y :

2 x 4 y   -   x 3   +   6 x y 2 * d x d y   =   - 2 x 3 y 2   -   2 y 3

Agora, isole o termo d x / d y para obter a derivada implícita em relação a y:

d x d y   = - 2 x 3 y 2 - 2 y 3 2 x 4 y   -   x 3 +   6 x y 2

Passo 3

Vamos isolar corretamente o termo d x / d y para obter a derivada implícita em relação a y na equação x 4 y 2   -   x 3 y   +   2 x y 3   =   0 :

Vamos derivar ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia:

A derivada de x 4 y 2 em relação a x é:

d d x   x 4 y 2 =   4 x 3 y 2   +   2 x 4 y   * d y d x

A derivada de - x 3 y em relação a x é:

d d x   - x 3 y =   - 3 x 2 y   -   x 3   * d y d x

A derivada de   2 x y 3 em relação a x é:

d d x   2 x y 3 =   2 y 3   +   2 x y 2   * d y d x

A derivada de 0 em relação a x é 0.

Agora, aplicando a derivada em ambos os lados da equação original:

4 x 3 y 2   +   2 x 4 y   * d y d x   -   3 x 2 y   -   x 3   * d y d x   +   2 y 3 + 2 x y 2   * d y d x   =   0

Agrupando os termos com d y / d x :

2 x 4 y   -   x 3   +   2 x y 2 * d y d x   =   - 4 x 3 y 2   +   3 x 2 y   -   2 y 3

Isolando d y / d x :

d y d x   = - 4 x 3 y 2   +   3 x 2 y   -   2 y 3 2 x 4 y   -   x 3   +   6 x y 2

Portanto, a derivada implícita de d x / d y para a expressão x 4 y 2   -   x 3 y   +   2 x y 3   =   0 em relação a y é:

d y d x   = - 4 x 3 y 2 +   3 x 2 y -   2 y 3 2 x 4 y -   x 3 +   6 x y 2

Resposta

d y d x   = - 4 x 3 y 2 - 3 x 2 y + 2 y 3 2 x 4 y - x 3 + 6 x y 2

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