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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - UNICAMP (MA111) - Lista 7, Questão 4

(4) A área de uma coroa circular com raios interno e externos variáveis se mantém constante e igual a 9 π   c m 2 . A área do círculo exterior varia a uma taxa de 10 π   c m 2 . Com qual velocidade varia o perímetro do círculo interior quando a sua área é 16 π   c m 2 ?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos uma coroa circular (anel) que possui uma área A constante e igual a 9 π   c m 2 , porém os raios externos e internos são variáveis. O que sabemos desse problema é que o círculo externo varia a uma taxa de 10 π   c m 2 e queremos saber qual é o perímetro do círculo interno no momento que sua área é 16 π   c m 2 .

Parece complicado, não é? Bora ver como fazemos isso! 🤔

Nosso objetivo é descobrir a taxa de variação do raio interno r 2 quando sua área é 16 π   c m 2 .

A área da coroa circular é dada pela área maior de raio r 1 menos a área menor de raio r 2 , ou seja

A = A 1 - A 2

A partir dessa equação derivando A em relação a t podemos obter a taxa de variação de r 2 e a partir da equação da área podemos encontrar o raio r 2 sabendo que estamos interessando na taxa de variação de r 2 quando sua área é 16 π   c m 2 .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos obter o raio r 2 instantâneo.

A 2 = π r 2 2

Se A 2 foi dado como 16 π   c m 2

16 π = π r 2 2 → r 2 = 4   c m

Agora derivando a equação A = A 1 - A 2 para encontrar a taxa de variação de r 2 , temos

d A d t = d A 1 d t - d A 2 d t

Vamos multiplicar d A 2 d t por d r 2 d r 2 e reorganizar

d A d t = d A 1 d t - d A 2 d t · d r 2 d r 2

d A d t = d A 1 d t - d A 2 d r 2 · d r 2 d t

d A d t = d A 1 d t - d π r 2 2 d r 2 · d r 2 d t

Derivando π r 2 2 em relação a r 2 ...

d A d t = d A 1 d t - 2 π r 2 · d r 2 d t

A taxa de variação da coroa é 0 já que A é constante, o raio r 2 é 4 e além disso foi dado no enunciado que a taxa de variação de A 1 é 10 π .

0 = 10 π - 2 π 4 · d r 2 d t

d r 2 d t = 5 4

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

agora que encontramos a variação de r 2 podemos encontrar a variação do perímetro a partir da equação do perímetro de uma circunferência

P = 2 π r

A taxa de variação do perímetro é dada por d P d t . Fazendo o mesmo esquema de multiplicar por d r 2 d r 2 , vamos obter

d P d t = d P d t · d r 2 d r 2 → d P d t = d P d r 2 · d r 2 d t

Substituindo P por 2 π r 2

d P d t = d 2 π r 2 d r 2 · d r 2 d t

d P d t = 2 π · d r 2 d t

Como a taxa de variação de r 2 é dada por d r 2 d t = 5 4 , então

d P d t = 2 π · 5 4

d P d t = 5 2 π

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

d P d t = 5 2 π

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