4 - A área A de um triângulo, com lados de comprimento a e b formando um ângulo theta á dada por.

A = (1 / 2) * a * b * sen(θ)

b) Como dA / dt se relaciona com dθ / dt e dа / dt se apenas b é constante?

Passo 1

Como vai meu consagrado? 😁 Bora aprender como resolver essa questão? 😉

Nesse problema foi dada a equação da área de um triangulo com lados a e b e que formam um ângulo θ entre eles.

A = 1 2 a b s e n θ

Com isso queremos saber qual é a relação entre d A d t com d θ d t e d a d t se b é constante.

E aí! O que vamos fazer? 🤔

Passo 2

Como se trata de uma equação, podemos obter a variação de ambos os lados com relação a t , ou seja, derivar ambos os lados com relação a t

d A d t = d 1 2 a b s e n θ d t

Como b é constante, podemos tirá-la da derivada

d A d t = 1 2 b d a s e n θ d t

Como se trata do produto de duas funções, podemos aplicar a regra do produto...

d A d t = 1 2 b d a d t · s e n θ + a · d s e n θ d t

Mas como θ é uma função de t , temos que aplicar a regra da cadeia na derivada de s e n θ .

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é obtida a partir do produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Como a função interna é θ e a função externa é s e n θ , então

d A d t = 1 2 b d a d t · s e n θ + a · d s e n θ d θ d θ d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de s e n θ é igual a

d A d t = 1 2 b d a d t · s e n θ + a · cos ⁡ θ d θ d t

d A d t = 1 2 b s e n θ d a d t + 1 2 a b cos ⁡ θ d θ d t

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

d A d t = 1 2 b s e n θ d a d t + 1 2 a b cos ⁡ θ d θ d t

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