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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 3 - Taxas Relacionadas, Questão 4c

4 - A área A de um triângulo, com lados de comprimento a e b formando um ângulo θ á dada por.

A = 1 2 a b s e n θ

c) Como d A d t se relaciona com d θ d t , d a d t e d b d t se nem a , nem b e nem θ são constantes?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a equação da área de um triangulo com lados a e b e que formam um ângulo θ entre eles.

A = 1 2 a b s e n θ

Com isso queremos saber qual é a relação entre d A d t com d θ d t , d a d t e d b d t .

E aí! O que vamos fazer? 🤔

Passo 2

Como se trata de uma equação, podemos obter a variação de ambos os lados com relação a t , ou seja, derivar ambos os lados com relação a t

d A d t = d 1 2 a b s e n θ d t

Como se trata do produto de duas funções, podemos aplicar a regra do produto primeiro entre a e b s e n θ ...

d A d t = 1 2 d a d t · b s e n θ + a · d b s e n θ d t

E novamente como b e s e n θ são duas funções de t , novamente vamos aplicar a regra do produto...

d A d t = 1 2 d a d t · b s e n θ + a · d b d t · s e n θ + b · d s e n θ d t

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Mas como θ é uma função de t , temos que aplicar a regra da cadeia na derivada de s e n θ .

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é obtida a partir do produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

Como a função interna é θ e a função externa é s e n θ , então

d A d t = 1 2 d a d t · b s e n θ + a · d b d t · s e n θ + b · d s e n θ d θ d θ d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de s e n θ é igual a

d A d t = 1 2 d a d t · b s e n θ + a · d b d t · s e n θ + b · cos ⁡ θ d θ d t

d A d t = 1 2 b s e n θ d a d t + a s e n θ d b d t + a b cos ⁡ θ d θ d t

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

d A d t = 1 2 b s e n θ d a d t + a s e n θ d b d t + a b cos ⁡ θ d θ d t

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