Um balão eleva-se verticalmente do solo à razão de 3   m / s . Quando o balão está a 48   m do solo, passa exatamente sob ele um automóvel viajando a velocidade de 20   m / s . Com que velocidade varia, 4 (quatro) segundo após, a distância entre eles?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com que a dist��ncia entre um balão que se eleva verticalmente do solo e um carro viajando abaixo dele.

Vamos chamar de x ( t ) a posição do carro e z ( t ) a altura do balão. Então, o balão se eleva a uma taxa z ' t = 3 m / s e o carro viaja a uma velocidade x ' t = 20   m / s . A gente quer encontrar a taxa de variação da distância d ' , quando o balão está em z = 48   m e t = 4   s .

Pra isso, vamos relacionar a distância entre eles através do teorema de Pitágoras, derivar a relação encontrada e substituir os valores dados no enunciado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos tentar visualizar a situação: o carro sai de baixo do balão em x 0 = 0 e o balão está inicialmente em z 0 = 48   m . Depois de t = 4   s , com uma velocidade x ' = 20   m / s , nosso carro vai tá em x = 4 20 = 80   m . E o balão sobe de uma posição inicial z = 48   m , a uma velocidade z ' = 3   m / s no mesmo período de tempo, então temos:

z = 48 + 3 4 = 60   m

Esquematizando o balão em z = 60   m e o carro em x = 80   m , temos:

Então, pelo teorema de Pitágoras, vamos ter a distância d sendo dada por:

d 2 t = x 2 t + z 2 t

Substituindo os valores para t = 4   s , temos:

d 2 ( 4 ) = 80 2 + 60 2

d ( 4 ) = 100   m

Passo 3

Derivando implicitamente nossa relação d 2 t = x 2 t + z 2 t :

2 d d ' = 2 x x ' + 2 z z '

Dividindo todo mundo por 2 :

d d ' = x x ' + z z '

No instante t = 4   s , como temos d = 100   m , x = 80   m , x ' = 20   m / s , z = 60   m , z ' = 3   m / s , a variação da distância entre o balão e o carro será:

100 ∙ d ' = 80 ∙ 20 + 60 ∙ ( 3 )

d ' = 17,8   m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d ' ( 4 ) = 17,8   m / s

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