Unicamp, Cálculo 1, 2019.2, P2, Questão 2.
Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de . Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a . Volume da esfera é igual a , onde é o raio.
Passo 1
Então, nessa questão o enunciado já disse qual fórmula ele quer que a gente use.
O volume da esfera segue essa relação aqui:
E se a taxa de variação desse volume é , isso quer dizer que a derivada do volume em relação ao tempo é . Então:
Beleza, é daí que a gente vai partir.
Passo 2
Agora vamos resolver essa derivada. O primeiro passo é colocar as constantes pra fora da derivada:
E agora é só resolver essa derivada de em relação a . Pra isso a gente tem que usar a regra da cadeia:
Então:
Beleza, vamos colocar isso de volta na equação:
Então, isolando , a taxa de crescimento do raio é:
Passo 3
Então, quando o diâmetro é , o raio da esfera é:
E então a taxa de variação do raio é:
Resposta
A taxa de crescimento do balão é quando o diâmetro é igual a .