Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de .
a) Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a
b) Sabendo que num determinado instante o balão tem volume de , determine o volume após segundos
Passo 1
Olha, não sei vocês, mas eu nunca vi um balão esférico, deve ser um balão mágico.
Brincadeiras a parte, como estamos falando de uma esfera, vale a pena já deixar enunciado a equação do volume:
Como queremos a taxa de variação instantânea em determinado instante , podemos derivar dos dois lados em relação ao tempo:
Fazendo uma regra da cadeia ai, temos:
Nesse instante, mesmo não sabendo qual ele é, sabemos do enunciado qual o valor da taxa de variação do volume e qual o valor do raio. Pô, então é só substituir do enunciado na fórmula acima:
E logo:
Passo 2
Agora pra gente fechar com chave de ouro essa questão, vamos pensar no seguinte. Se a taxa de crescimento do volume é de , passados seg, o volume aumentou em . Opa, se ele era antes , então a resposta da letra ta na mão, o volume será: