UFSCAR – Cálculo 1 – Simulado 1 – Questão 5
Uma bola de ferro esférica com 8 cm. de diâmetro está coberta com uma camada de gelo de espessura uniforme. Se o gelo derrete com uma taxa de , a que taxa a espessura do gelo diminuirá quando tiver . de espessura? A que taxa a área da superfície externa do gelo diminuirá?
Passo 1
Oi pessoal, tudo belezinha por aí? Essa é uma questão de taxas relacionadas! E bem como o nome diz, precisamos relacionar grandezas!
Temos uma bola de ferro em forma de esfera coberta por uma camada de gelo.
A grande sacada dessa questão vem de chamar a espessura de gelo mais o raio dado da esfera de um raio qualquer uma vez que a espessura é constante em torno de toda a esfera, o que deixa o volume da espessura de gelo da seguinte forma:
E a área da superfície fica da seguinte forma:
O problema pede com que taxa a área varia, então vamos relacionar a variação do volume (que vai se relacionar por sua vez com a variação do raio) com a variação da superfície
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora começar?
Passo 2
Derivando a equação do volume temos:
Como se quer a taxa de derretimento para espessura de gelo quando ela for de , logo . Lembrando que
Logo temos:
O sinal negativo significa que ela diminuiu
Vamos guardar esse resultado!
Passo 3
Agora calculando a variação da superfície externa da película de gelo temos:
Como calculamos e no passo anterior, só precisamos substituir!
E é isso! A área da espessura de gelo está diminuindo (como já podíamos imaginar)!
Belezinha? Vamos treinar mais um pouco?