UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - UERJ - Lista 8, Questão 6a
Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais (se existirem).
(a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função cresce e decresce, além de seus pontos de máximo e mínimo locais.
Pra isso, vamos precisar fazer o famoso teste de crescimento e decrescimento, que basicamente consiste em verificar o sinal da derivada da função. Isso porque se , em um intervalo , então a função é crescente nesse intervalo. E se , em um intervalo , então a função é decrescente nesse intervalo.
Além disso, nos locais onde temos nossos pontos críticos, que vão ser candidatos a máximo ou mínimo da função. Supondo que esse ponto crítico seja , o teste da primeira derivada nos diz que:
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Derivando ela em relação a , usando a regrinha da potência, vamos obter:
Agora vamos fazer o estudo de sinal de para verificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
Repara que nós temos uma soma, mas pra fazer o estudo de sinal é interessante deixarmos a função como um produto ou quociente, pra facilitar nossa análise. Então, vamos fatorar nossa expressão:
Agora vamos montar o quadro de sinais pra entender o comportamento dessa função.
Passo 3
Se olharmos os termos do produto, vamos ver que dependendo do valor de , a derivada será positiva (ou seja, maior que zero) ou negativa (menor que zero). Então, para montar o quadro de sinais, a gente começa achando os pontos em que cada termo será igual a zero, em outras palavras, vamos achar as raízes da equação.
Agora vamos finalmente para o quadro de sinais. Vamos colocar em cima da tabela, em ordem crescente, todas as raízes dos termos e na primeira coluna colocamos os termos da derivada, a própria original e a nossa função .
Então vamos preencher a tabela analisando os intervalos onde cada termo é negativo ou positivo, na primeira e na segunda linha. Na linha da derivada, a gente preenche fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo.
As setinhas para cima indicam onde a derivada é positiva e consequentemente, os intervalos de crescimento da função. Assim como as setinhas para baixo, indicam onde a função decresce. Representanto esses intervalos, vamos ter:
Passo 4
Agora repare que a nossa função cresce até o ponto crítico e depois passa a decrescer, indicando que temos um ponto de máximo local. Em seguida, observamos que a função decresce até e depois volta a crescer, indicando a existência de um ponto de mínimo local.
Substituindo esse valores na função, temos:
Assim, temos os pontos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉