Uma caixa está sendo puxada por uma corda que passa por uma roldana presa a 1 m = 1m acima do solo. Determine a taxa de variação do ângulo theta , indicado na figura abaixo, no instante em que a caixa se encontra a 1 m m do ponto P , situado abaixo da roldada, sabendo que a caixa se desloca a 2 * m / min .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação do ângulo, essa taxa pode ser definida por d θ d t . Mas ele quer o valor da taxa no instante em que a caixa se encontra a uma distância x = 1   m do ponto P , sabendo que a caixa se desloca com uma taxa d x d t = - 2   m / m i n (o sinal é negativo porque a caixa está sendo puxada, diminuindo a distâcia de x ).

Então, o que nós vamos fazer é encontrar uma relação entre o ângulo θ e a distância x . A partir dessa relação, derivando implicitamente, vamos obter o valor da taxa d θ d t .

Vamos lá!

Passo 2

Olhando a nossa figura, a gente percebe que o ângulo entre a caixa e o ponto P , pode ser relacionado através dos catetos, x ( t ) e y = 1   m , de modo que teremos:

tan ⁡ ( θ t ) = 1 x ( t )

Daqui, tiramos que se x = 1   m , tan ⁡ θ = 1 , o que implica θ = π 4 .

Derivando implicitamente a relação que encontramos, obtemos:

1 cos 2 ⁡ θ d θ d t = - 1 x 2 d x d t

Sabendo que d x d t = - 2   m / m i n , quando x = 1   m e θ = π 4 , temos:

1 cos 2 ⁡ π 4 d θ d t = - 1 1 2 ∙ ( - 2 )

1 2 2 2 d θ d t = 2

Isolando d θ d t , temos a variação do ângulo:

2 d θ d t = 2

→   d θ d t = 1   m / m i n

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1   m / m i n

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