Um círculo possui raio inicial de 1m e começa a crescer de tal forma que sua área aumenta a uma taxa de 10 c m 2 / m i n . Encontre a taxa de variação do raio do círculo quando seu raio mede 5 cm.

Passo 1

Vamos usar a fórmula da área de um círculo para relacionar a taxa de variação da área ( d A / d t ) com a taxa de variação do raio ( d R / d t ) .

A fórmula da área de um círculo é A = π r 2 onde A é a área e r é o raio do círculo.

Primeiro, derivamos ambos os lados da equação com relação ao tempo t :

d A d t = 2 π r d r d t

Dado que a taxa de variação da área é 10   c m 2 / m i n ou seja, d A d t = 10   c m 2 / m i n   e queremos encontrar a taxa de variação do raio quando o raio mede 5   c m , ou seja, r = 5   c m podemos substituir esses valores na equação derivada:

10   c m 2 / min ⁡ = 2 π ⋅ 5 c m   ⋅ d r d t

Passo 2

Agora, podemos resolver para d r / d t , que é a taxa de variação do raio:

d r d t = 10 c m 2 m i n 2 π ⋅ 5   c m

Calculando o valor numérico:

d r d t = 1 π   c m / m i n

Resposta

Portanto, quando o raio do círculo mede 5   c m   , a taxa de variação do raio é 1 π   c m / m i n , aproximadamente 0,318   c m / m i n .

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