5 - O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de 8 cm / s e sua largura está aumentando a uma taxa de 3 cm / s . Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm quão rápido a área do retângulo está aumentando?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos um retângulo que seu comprimento aumenta a uma taxa de 8 c m / s e sua largura a uma taxa de 3 c m / s .

Apenas com isso, queremos saber quanto a área do retângulo estará aumentando quando o comprimento for 20 c m e a largura for 10 c m .

E aí, tem alguma ideia? 🤔🤔

Vamos chamar o comprimento do retângulo de x e a largura de y , assim, a área do retângulo será dado por

A = x · y

Sacou? 😁

Passo 2

Mas o que queremos é a taxa de variação da área, temos que escrever a variação da área em relação ao tempo, ou seja, a derivada de A em relação a t .

Derivando os dois lados da equação, temos

d A d t = d x · y d t

Mas como x e y são as medidas do retângulo e são funções que variam em t , temos que aplicar a regra do produto

d A d t = d x d t · y + x · d y d t

Essa equação nos diz que a variação da área A é igual ao produto entre a varação do comprimento x com a largura instantânea y mais o produto do comprimento instantâneo x com a variação da largura y .

Como a variação do comprimento é 8 c m / s , e a variação da largura é 3 c m / s , para sabermos qual é a variação da área quando x = 20 c m e y = 10 c m , fazemos

d A d t = 8 · 10 + 20 · 3

d A d t = 140 c m 2 / s

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

d A d t = 140 c m 2 / s

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