Considere um círculo inscrito em triângulo equilátero. Conforme o raio do círculo aumenta, o triângulo também aumenta, de forma que o primeiro esteja sempre inscrito no segundo. Sabendo que o raio do círculo varia a uma taxa de c m / m i n , qual a taxa de variação da área do triângulo quando o raio do círculo alcançar 35   c m ?

Passo 1

Faaaaaleis vós, consagrados! De primeira, temos que achar o vínculo geométrico entre o triângulo e o círculo para só então utilizar a regra da cadeia para determinar a variação necessária. Avante:

Dessa imagem, temos a área do triângulo e a relação entre r e L :

A = 1 2 L ⋅ L ⋅ sin ⁡ 60 o ⇒ A = L 2 3 4

tan ⁡ 30 o = r L / 2 = 1 3   ⇒ L = 2 r 3

Dessa forma, coloquemos A em função de r :

A = L 2 3 4 ⇒ A = ( 2 r 3 ) 2 3 4 ⇒ A = 3 r 2 3

Passo 2

Agora, derivamos:

d A d t = d A d r ⋅ d r d t = d d r 3 r 2 3 ⋅ d r d t

⇒ d A d t = 6 r 3 ⋅ d r d t

Substituindo o valor que temos ficamos com:

d A d t = 6 ⋅ 35 ⋅ 3   ⋅ d r d t ⇒ d A d t = 210 3 d r d t     c m 2 / m i n

Resposta

d A d t = 210 3 d r d t     c m 2 / m i n

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