UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P3 – 2017.2 – Questão 1b
Considere a função no ponto encontre:
- A derivada direcional na direção de
- A taxa de variação máxima nesse ponto e a direção em que ela ocorre.
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Para calcularmos derivadas direcionais, usaremos a fórmula:
Além disso, o enunciado pede que a gente faça os cálculos em função do ponto . Ok?
Mas aqui nessa letra ele quer saber a taxa de variação máxima e a direção em que ela ocorre. Afinal o que seria isso? Bom, para acharmos o que ele pede, nós vamos ter que ir em busca do nosso querido e do da nossa fórmula acima. Beleza?
Passo 2
Vamos começar a calcular. Para começar, precisamos ter em mãos o gradiente da nossa função e aplicar o ponto nele:
Aplicando o ponto:
Ok, gradiente calculado. Agora, podemos jogar tudo na nossa fórmula do Passo 1:
Passo 3
Show, agora vamos para o que a questão pede. Ela quer que encontremos a taxa de variação máxima e a direção que ela ocorre.
Bom, para isso, temos que lembrar que a direção aonde a função cresce mais rápido é na direção do próprio vetor gradiente. Então:
E a taxa de variação máxima e justamente o módulo do vetor gradiente no ponto: