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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - IM/UFRJ - Lista 5 - P3, Questão 15c

Considere que o valor monetário V (t) de uma coleção de antiguidades aumenta com a idade (tempo t).

  1. Escreva uma expressão para d V / d t   que signifique que a taxa de valorização da coleção em qualquer momento é 0.03 vezes seu valor naquele momento.
  2. Considerando constantes A e k não nulas, para que valores de k a seguinte função se encaixa no que você encontrou no item anterior? V   ( t )   =   A e k t .

(c) Considerando adicionalmente que o valor da coleção era R$ 25.000 há 10 anos, escreva a função V (t) adequada e calcule em que ano se espera que o valor seja R$ 49.000. Use a

aproximação l n ( 49 / 25 )   ≈   0.66 .

Passo 1

(c) Sabendo que o valor da coleção era R$ 25.000 há 10 anos, ou seja, em t = 10, podemos usar essa informação para encontrar o valor da constante A na função V t =   A ⋅ e 0.03 t

25000   =   A ⋅ e 0.03 ⋅   10

25000   =   A ⋅ e 0.3

A   = 25000 e 0.3

Agora, com o valor de A, podemos escrever a função V(t):

V t =   25000 e 0.3 ⋅ e 0.03 t

Passo 2

Queremos descobrir em que ano o valor será R$ 49.000. Substituindo esse valor na função e resolvendo para t:

49000   =   25000 e 0.3 ⋅ e 0.03 t

Dividindo ambos os lados por ( 25000 / e 0.3   ) :

e 0.03 t = 49000 25000 e 0.3

e 0.03 t   =   1.96 ⋅ e 0.3

Aproximando l n ( 49 / 25 ) como 0.66 :

e 0.03 t =   1.9 6 ⋅   e 0.3

0.03 t   = ln ⁡ 1.96 +   0.3

0.03 t   =   0.67

t   = 0.67 0.03

t   ≈   22.33

Portanto, espera-se que o valor seja R$ 49.000 após aproximadamente 22.33 anos, contados a partir do momento em que o valor era R$ 25.000.

Resposta

Portanto, espera-se que o valor seja R$ 49.000 após aproximadamente 22.33 anos, contados a partir do momento em que o valor era R$ 25.000.

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