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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Provas Antigas – P2 – 2022.1 - 6ª Diurno – Questão 3

Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100   m a uma velocidade constante de 7   m / s e g . Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200   m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância for de 200   m ?

Lembre que o comprimento do arco de um setor circular de ângulo θ (em radianos) de uma circunferência de raio r é igual a r θ .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos entender essa questão aqui!!

Primeiramente, vamos fazer um esquema visual aqui para podermos entender melhor a questão:

Temos o corredor, percorrendo uma circunferência de raio R = 100 m . À 200 m do centro dessa circunferência, tem um ser humaninho parado (sem nada pra fazer né?!).

Agora precisamos encontrar a equação que descreve esse cenário e, posteriormente, achar a taxa de variação da distância entre esses dois indivíduos!

Passo 2

Assim, podemos utilizar a lei dos cossenos para expressar a distância entre os dois indivíduos:

z 2 = R 2 + B 2 - 2 R B cos ⁡ θ ∴

z 2 = 100 2 + 200 2 - 2 ∙ 100 ∙ 200 ∙ cos ⁡ θ ∴

z 2 = 10 4 ( 5 - 4 cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora vamos derivar implicitamente, já que queremos descobrir a taxa de variação:

2 z d z d t = 10 4 4   s e n   θ d θ d t ∴

d z d t = 2 ∙ 10 4 ∙ s e n   θ z d θ d t

O enunciado da questão nos disse que o comprimento do arco de um setor circular ( s ) de ângulo θ (em radianos) de uma circunferência de raio r é igual a r θ . Logo:

d s d t = r d θ d t

Passo 4

Agora, vamos lembrar que:

  • d s d t = 7   m / s e g ;
  • d θ d t = 1 r d s d t = 7 100 ;
  • Distância de 200 metros entre os indivíduos.

Substituindo os dados acima no que a gente encontrou até agora, temos:

200 2 = 100 2 5 - 4 cos ⁡ θ ∴ cos ⁡ θ = 1 4

Sabendo que s e n 2 θ + cos ⁡ θ = 1 , temos que s e n   θ = 15 4 :

d z d t = 2 ∙ 10 4 ∙ 15 4 200 7 100 ∴

d z d t = 7 15 4   m / s

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

d z d t = 7 15 4   m / s

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