UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 3a.
Determine os extremos relativos, os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
Passo 1
Falaiii meus xuxuzinhooos, boraaa??
Primeiro de tudo, extremos relativos são os pontos de máximo e mínimo.
Para determinar os extremos relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função você deve seguir os seguintes passos:
Vamos encontrar os pontos críticos da função, onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. A derivada primeira da função é
Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
Primeiro, podemos dividir a equação por 3 para simplificar:
Agora, resolvemos esta equação quadrática. Podemos usar a fatoração ou a fórmula quadrática. Vamos usar a fatoração:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, temos dois pontos críticos:
Passo 2
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para fazer isso, podemos usar a derivada primeira e os pontos críticos que encontramos.
Vamos criar uma tabela de sinais para nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
Agora, vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e determinar o sinal de nesse intervalo. Vamos usar para o intervalo , para o intervalo para o intervalo
Para
Para
Para
Agora, podemos preencher a tabela de sinais:
Passo 3
Agora, usando a tabela de sinais de podemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
- A função está crescendo nos intervalos onde ou seja, nos intervalos .
- A função está decrescendo no intervalo onde , ou seja, no intervalo .
Agora, vamos determinar os extremos relativos. Para isso, precisamos analisar o comportamento de nos pontos críticos.
- No ponto crítico , a função muda de crescente para decrescente. Portanto, há um ponto de máximo local nesse ponto.
- No ponto crítico , a função muda de decrescente para crescente. Portanto, há um ponto de mínimo local nesse ponto.
Resumo:
- A função é crescente nos intervalos .
- A função é decrescente no intervalo
- A função tem um ponto de mínimo local em
- A função tem um ponto de máximo local em
Resposta
Vide a explicação.