Dois carros, um dirigindo-se para o leste à razão de 20   m / s e o outro para o sul à razão de 15   m / s , estão viajando em direção à interseção das duas rodovias. À que razão os carros aproximam-se um do outro, no instante em que o primeiro (direção leste) estiver a 400   m e o segundo (direção sul) a 300   m da interseção?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação da distância entre dois carros, cujas posições vamos chamar de x e y , com origem na interseção entre eles.

Um dos carros tá dirigindo na direção do eixo x e sentido para origem, com uma velocidade d x d t = - 20   m / s . E o outro carro tá indo para o sul, na direção do eixo y , também com sentido para origem e velocidade d y d t = - 15   m / s . Se a gente chamar de d a distância entre eles, a gente consegue visualizar no esquema abaixo que podemos relacionar as variáveis através do teorema de Pitágoras.

Assim, teremos:

x 2 t + y 2 t = d 2 ( t )

Derivando essa equação e usando os dados do enunciado, vamos obter d ' , que é a derivada de d em relação a t e representa a taxa de variação da distância entre os carros.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar pela relação que encontramos na nossa figura:

x 2 t + y 2 t = d 2 t

Derivando implicitamente, temos:

2 x x ' + 2 y y ' = 2 d d '

Dividindo todo mundo por 2 :

x x ' + y y ' = d d '

Mas o enunciado nos deu x ' = - 20   m / s , y ' = - 15   m / s . Além disso, ele fala que o primeiro carro (direção leste) está em x = 400   m da origem e o segundo carro (direção sul) está a y = 300   m da interseção. Nesse instante, pela relação do triângulo, temos d = 500   m . Então, substituindo na derivada, temos:

400 ∙ - 20 + 300 ∙ - 15 = 500 ∙ d '

Isolando d ' , vamos obter a razão com que os carros aproximam-se um do outro:

d ' = - 25   m / s

Então, eles estão se aproximando a uma taxa de 25   m / s .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d ' = - 25   m / s

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