9 - Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 km/h e o outro viaja para o oeste a 72 km/h . A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas horas depois?

Passo 1

Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nessa questão temos dois carros que partiram do mesmo ponto sendo um deles viajando para o sul a uma velocidade de 30 k m / h e o outro viajando para o oeste a uma velocidade de 72 k m / h .

Com essas informações, queremos saber qual é a taxa de variação da distância entre os carros após 2 h de viagem.

Alguma ideia do que fazer? 👀

Perceba que como um carro viaja para o sul e o outro para o oeste, o trajeto entre eles formam um ângulo de 90 ° , assim, a distância entre os carros pode ser relacionada com a hipotenusa de um triangulo retângulo dado que os catetos são os trajetos dos carros.

Interessante, não é? 😁

Passo 2

Dessa forma, a distância instantânea entre os carros é dada por

d 2 = s 2 + o 2

Considerando s como o trajeto do carro que segue para o sul e o o trajeto do carro que segue para oeste.

Tanto d como s e o não são simples variáveis, são funções de t .

Derivando nos dois lados com relação a t , temos

d d 2 d t = d s 2 d t + d o 2 d t

Aplicando a regra da cadeia nessas derivadas, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada da função de fora...

d d 2 d d d d d t = d s 2 d s d s d t + d o 2 d o d o d t

2 d d d d t = 2 s d s d t + 2 o d o d t

d d d d t = s d s d t + o d o d t

Portanto, vemos que a distância instantânea d multiplicada pela variação da distância d é igual ao trajeto percorrido pelo carro s multiplicado pela variação do trajeto s mais o trajeto do carro o multiplicado pela variação do trajeto do carro o .

Podemos traduzir isso dizendo que d s d t é a velocidade do casso s , d o d t é a velocidade do carro o , d d d t é a taxa de aumento da distância entre os carros e d , s e o são os parâmetros instantâneos da posição dos carros.

Isolando d d d t em um lado

d d d t = 1 d s d s d t + o d o d t

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Mas como d = s 2 + o 2 , temos

d d d t = 1 s 2 + o 2 s d s d t + o d o d t

E agora só precisamos obter os parâmetros s e o no memento 2 h após o início do movimento.

O carro s tem velocidade constante 30 k m / h , então em duas horas ele anda 60 k m , já o carro o tem velocidade constante 72 k m / h , logo, em 2 h ele anda 144 k m ...

Substituindo na equação

d d d t = 1 60 2 + 144 2 60 · 30 + 144 · 72

d d d t = 1 24336 12168

d d d t = 12168 156

d d d t = 78 k m / h

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

d d d t = 78 k m / h

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