UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 3 - Taxas Relacionadas, Questão 9
9 - Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a e o outro viaja para o oeste a . A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas horas depois?
Passo 1
Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!
Nessa questão temos dois carros que partiram do mesmo ponto sendo um deles viajando para o sul a uma velocidade de e o outro viajando para o oeste a uma velocidade de .
Com essas informações, queremos saber qual é a taxa de variação da distância entre os carros após de viagem.
Alguma ideia do que fazer? 👀
Perceba que como um carro viaja para o sul e o outro para o oeste, o trajeto entre eles formam um ângulo de , assim, a distância entre os carros pode ser relacionada com a hipotenusa de um triangulo retângulo dado que os catetos são os trajetos dos carros.
Interessante, não é? 😁
Passo 2
Dessa forma, a distância instantânea entre os carros é dada por
Considerando como o trajeto do carro que segue para o sul e o trajeto do carro que segue para oeste.
Tanto como e não são simples variáveis, são funções de .
Derivando nos dois lados com relação a , temos
Aplicando a regra da cadeia nessas derivadas, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada da função de fora...
Portanto, vemos que a distância instantânea multiplicada pela variação da distância é igual ao trajeto percorrido pelo carro multiplicado pela variação do trajeto mais o trajeto do carro multiplicado pela variação do trajeto do carro .
Podemos traduzir isso dizendo que é a velocidade do casso , é a velocidade do carro , é a taxa de aumento da distância entre os carros e , e são os parâmetros instantâneos da posição dos carros.
Isolando em um lado
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Mas como , temos
E agora só precisamos obter os parâmetros e no memento após o início do movimento.
O carro tem velocidade constante , então em duas horas ele anda , já o carro tem velocidade constante , logo, em ele anda ...
Substituindo na equação
O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊
