UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.4.10
Dois lados paralelos de um retângulo aumentam à razão de , mas os outros dois lados diminuem de tal modo que a figura permaneça um retângulo de área constante igual a . Qual a velocidade com que o perímetro varia quando o lado que aumenta mede ?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com que o perímetro do retângulo varia, de modo que sua área permaneça constante.
Chamando de e os lados do retângulo, nossa área que é de , vai ser dada pelo produto entre os lados:
Nós sabemos que um dos lados aumenta à razão e que acaba medindo . Então, a partir da relação de área, encontramos . E derivando a relação de área, encontramos .Vamos precisar do valor dessas variáveis para determinar a variação do perímetro .
Vamos lá!
Passo 2
Com , partindo da relação , temos:
Derivando essa relação de área, usando a regra do produto, vamos ter:
Como , e , temos:
Passo 3
O perímetro do retângulo é dado por . Derivando implicitamente essa relação, temos:
Com e , vamos ter:
Que é a velocidade com que o perímetro varia.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉