Uma escada com 5   m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da

escada desliza afastando-se da parede a uma taxa de   1   m / s , quão rápido o topo da escada

está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 3   m da parede

(medido no chão)?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo. Dessa vez uma de taxa relacionada

Nosso objetivo é saber o quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 3   m da parede.

é informado que a base da escada desliza afastando-se da parede a uma taxa de   1   m / s

Passo 2

Antes de mais nada, se a nossa escada tem 5 metros de comprimento. Vamos definir como y a altura da escada em relação ao solo e x a distância da escada até a parede. Dessa forma temos que

x 2 ( t ) + y 2 ( t ) = 25

e como a base da escada desliza afastando-se da parede a uma taxa de   1   m / s Então:

x ' ( t ) = 1

Agora, vamos calcular y ' ( t ) quando x ( t ) = 3

Passo 3

Vamos fazer a derivada empírica de y ( t ) . Como vimos

x 2 ( t ) + y 2 ( t ) = 25

Derivando dos dois lados temos:

d d x ( x 2 ( t ) + y 2 ( t ) ) = 0

Usando a regra da cadeia, temos:

2 x ( t ) x ' ( t ) + 2 y ( t ) y ' ( t ) = 0

Logo

- x ( t ) x ' ( t ) / ( y ( t ) ) = y ' ( t )

Mas sabemos que x ' ( t ) = 1 . Então

- x ( t ) / ( y ( t ) ) = y ' ( t )

Passo 4

Agora que sabemos que

- x ( t ) / ( y ( t ) ) = y ' ( t )

basta calcularmos a derivada para x ( t ) = 3 .

Se x ( t ) = 3 então y ( t ) = 4 . Logo

- x ( t ) / ( y ( t ) ) = y ' ( t )

= - 3 / 4   m / s

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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