Na figura abaixo, P(x₀, y₀) é o ponto de tangência da reta t com a curva y = 1 / x, x > 0 . Sabendo que o ponto P se desloca sobre a curva mostre que:

(a) O triângulo O P Q é sempre isósceles.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que o triângulo O P Q é sempre isósceles, ou seja, que ele tem sempre dois lados iguais.

Nós sabemos que o ponto P é igual a ( x 0 ,   y 0 ) e o ponto O , na origem, é ( 0 ,   0 ) . Mas do ponto Q , nós só conhecemos a coordenadas y = 0 (porque ele toca o eixo x ), falta descobrir a coordenada x desse ponto. Mas porque isso é importante?

Porque descobrindo o ponto Q , nós vamos conseguir verificar a distância de P até Q e a distância de O até P . Se essas distâncias forem iguais, o triângulo terá dois lados iguais e será isósceles. Pra calcular a distância entre esses pontos, vamos usar a fórmula:

d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Vamos lá!

Passo 2

Pra encontrar a coordenada x de Q , vamos usar a equação da reta tangente t . A reta t passa por P = ( x 0 ,   y 0 ) e tem como coeficiente angular a derivada da função y = 1 x , que é y ' = - 1 x 2 . Então, no ponto dado, vamos ter:

y - y 0 = - 1 x 0 2 ( x - x 0 )

Usando y 0 = 1 x 0 , temos:

y = 1 x 0 - 1 x 0 2 ( x - x 0 )

Como o ponto Q é a interseção de t com o eixo x , fazendo y = 0 , vamos ter:

1 x 0 - 1 x 0 2 x - x 0 = 0

1 x 0 + 1 x 0 = x x 0 2

Isolando x :

2 x 0 2 x 0 = x

x = 2 x 0

Essa é a coordenada x de Q .

Passo 3

Como Q = ( 2 x 0 ,   0 ) , calculando a distância P Q , vamos ter:

d P Q = 2 x 0 - x 0 2 + 0 - y 0 2

d P Q = x 0 2 + y 0 2

Agora vamos verificar a distância entre O = ( 0 ,   0 ) e P = ( x 0 ,   y 0 ) :

d O P = x 0 - 0 2 + y 0 - 0 2

d O P = x 0 2 + y 0 2

Como as distâncias são iguais, nosso triângulo é isósceles, como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

Exercícios de Livros Relacionados