Na figura abaixo, P(x₀, y₀) é o ponto de tangência da reta t com a curva y = 1 / x, x > 0 . Sabendo que o ponto P se desloca sobre a curva mostre que:

(b) A taxa de variaç��o da área do triângulo O PQ independe da velocidade com que o ponto P se desloca.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a variação da área do triângulo O P Q independente da velocidade com que o ponto P se desloca.

Pra verificar isso, vamos definir a área do triângulo O P Q , que tá relacionada com sua altura y 0 e suas bases 2 x 0 . Sendo assim, vamos verificar como varia a área, derivando a equação encontrada.

Vamos lá!

Passo 2

Como a área do triângulo é dada pelo produto da base pela altura divido por 2 e o nosso triângulo tem altura y 0 e base 2 x 0 , vamos ter a área:

A = 2 x 0 y 0 2 = x 0 y 0

Mas no ponto P , y 0 = 1 x 0 . Então, substituindo em A vai ficar:

A = x 0 1 x 0

A = 1

Logo, a área do triângulo O P Q é sempre igual a 1 . Se a gente derivar essa área, como a derivada de uma constante é nula, vamos ter:

A ' = 0

Isso significa que não há variação de área, sua taxa é igual a zero, e por isso ela independe da velocidade com que o ponto P se desloca.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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