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Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 5.11

Num filtro com formato de cone, como na figura 3a, um líquido escoa da parte superior para a parte inferior passando por um orifício de dimensões desprezíveis. Num certo instante, a altura H do líquido depositado na parte inferior é 8 cm, a altura h do líquido da parte superior é 10 cm e h está diminuindo a uma taxa de variação instantânea de 2 cm/min. Calcule a taxa de variação de H em relação ao tempo nesse instante.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos os seguintes dados da situação descrita no enunciado:

H ( t o ) = 8   c m , altura do líquido inferior no instante considerado;

h ( t o ) = 10   c m , altura do líquido superior no instante considerado;

r m = 10   c m , raio máximo dos cones;

A m = 30   c m , altura máxima dos cones;

d h d t = - 2   c m / m i n , taxa de variação instantânea de h ;

Como essas informações, temos que determinar a taxa de variação de H em relação ao tempo no instante considerado. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para a seção transversal do filtro:

Temos que o volume ocupado pelo líquido na parte superior é dado pelo volume do cone de raio r e altura h:

  V S = π   r 2 3 h

podemos relacionar o raio com altura do líquido por meio da regra de três

r h = 10 30

r = h 3

Então, substituindo no volume

  V S = π   ( h / 3 ) 2 3 h = π   h 3 27 .

Já o volume ocupado pelo líquido na parte inferior é dado pela diferença entre o volume do cone de raio r m e altura A m e o cone de raio R e altura ( A m - H ) :

  V I = π   r m 2 3 A m - π   R 2 3 ( A m - H )

podemos relacionar o raio com altura do líquido por meio da regra de três

R ( A m - H ) = 10 30

R = ( A m - H ) 3

Então, substituindo no volume

  V I = π   r m 2 3 A m - π   ( A m - H ) 3 3 = π   10 2 3 30 - π ( 30 - H ) 3   27 = 1000 π - π ( 30 - H ) 3   27 .

Passo 3

Temos que a variação temporal do volume inferior é igual ao negativo da variação temporal do volume superior, pois o líquido vai da parte superior para a inferior

d V I d t = - d V S d t

Substituindo

d d t ( 1000 π - π ( 30 - H ) 3   27 ) = - d d t ( π   h 3 27 )

derivando

d H d t ( 3 π ( 30 - H ) 2   27 ) = - d h d t ( 3 π   h 2 27 )

d H d t = - d h d t ( h 30 - H ) 2

Para o instante de interesse h = 10   c m , H = 8   c m e d h d t = - 2   c m / m i n , então

d H d t = - ( - 2 ) ( 10 30 - 8 ) 2 = 50 121 c m / m i n .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d H d t = 50 121 c m / m i n .

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