Um fusca viaja à razão de 30   m / s aproxima-se de um cruzamento. Quando o fusca está a 120   m do cruzamento um caminhão que viaja à razão de 40   m / s atravessa o cruzamento. O fusca e o caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto. Com que rapidez separam-se o fusca e o caminhão 2   s depois que o caminhão passou pelo cruzamento?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com que o fusca e o caminhão se afastam, que é a velocidade d ' ( t ) , depois de passarem por um cruzamento em t = 2   s .

Colocando a origem na interseção entre eles, vamos chamar de x ( t ) a posição do fusca e y ( t ) a posição do caminhão. Como eles estão em rodovias que formam um ângulo reto com a origem, pelo teorema de Pitágoras, a distância d ( t ) entre eles satisfaz a equação:

d 2 t = x 2 t + y 2 t

A partir dessa relação, vamos obter o valor de d em t = 2   s e obter o valor da velocidade d ' ( t ) nesse mesmo instante.

Vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos diz que o fusca está em x = 120   m , com velocidade x ' = 30   m / s , quando o caminhão passa pelo cruzamento. Então, em t = 2   s , vamos ter:

x 2 = 120 - 2 30 = 60   m

O sinal é negativo porque eles estão se aproximando da interseção. Como o caminhão parte de y = 0 e atravessa com velocidade y ' = 40   m / s , em t = 2   s , vamos ter:

y 2 = 2 ∙ 40 = 80   m

Substituindo esses valores na nossa relação dada pelo teorema de Pitágoras, vamos ter a distância d em t = 2   s :

d 2 2 = ( 60 ) 2 + 80 2

d 2 = 100   m

Passo 3

Derivando implicitamente nossa relação d 2 t = x 2 t + y 2 t , vamos ter:

2 d d ' = 2 x x ' + 2 y y '

Dividindo todo mundo por 2 :

d d ' = x x ' + y y '

No instante t = 2   s , como temos d = 10 0   m , x = 6 0   m , x ' = - 3 0   m / s , y = 8 0   m , y ' = 4 0   m / s , a variação da distância entre o caminhão e o fusca será:

100 ∙ d ' = 60 ∙ - 30 + 80 ∙ ( 40 )

d ' = 14   m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d ' ( 2 ) = 14   m / s

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